函数的概念与表示知识领航1．函数的定义一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称():f x A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作：(),y f x x A=∈.注意：函数概念中的关键词(1) A，B是非空数集.(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.2. 函数的定义域、值域其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A∈叫做函数的值域.3. 函数的三要素定义域、值域和对应法则.4. 相等函数如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据.5. 区间的概念设,a b是两个实数，而且a b<.我们规定：（1）满足不等式a x b≤≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,]a b.（2）满足不等式a x b<<的实数x的集合叫做开区间，表示为(,)a b.（3）满足不等式a x b≤<或a x b<≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b，(,]a b. 这里的实数都叫做相应区间的端点.实数R可以用区间表示为(,)-∞+∞.“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a≥，x a>，x b≤，x b<，的实数x的集合分别表示为[,)a+∞，(,)a+∞，(,]b-∞，(,)b-∞.6. 函数的表示法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.（3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).7.求函数的解析式的方法（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等.（2）换元法: 适用于已知(())f g x的解析式,求()f x.（3）消元法: 适用于同时含有()f x和1()fx ，或()f x和()f x-.8. 分段函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.9. 映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素()f x 与之对应，那么就称对应():f x A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。

注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是非空数集.e 线聚焦【例1】下列图象中不能作为函数的是( ).A B C D解：答案为B. 因为B 中存在x ，使得有两个y 与之对应.【例2】已知函数1()32f x x x =+++.(1)求函数的定义域.（2）求(3)f -,(6)f 的值.(3）当0a >时，求()f a ,(1)f a -的值.解：（1）使得3x + 有意义的实数x 的集合是{|3}x x ≥-，使得12x +有意义的实数x 的集合是{|2}x x ≠-，所以，这个函数的定义域就是{|32}x x x ≥-≠-且.（2）1(3)33132f =-++=--+125(6)63628f =++=+（3）因为0a >，所以()f a ，(1)f a -有意义，1()32f a a a =+++11(1)121f a a a -==-++ 【例3】已知()f x 的定义域为[0,2]，求(21)f x -的定义域.解：由题意知，0212x ≤-≤，所以所以(21)f x -的定义域为 【例4】求下列函数的值域. （1）1y =（2）246,[1,5]y x x x =-+∈（3） （4）y x =+解：（10≥11≥，所以1y =的值域为[1,)∞. （观察法）（2）配方，得2(2)2y x =-+又[1,5]x ∈，所以211y ≤≤，所以246,[1,5]y x x x =-+∈的值域为[2,11]. （配方法）（3） 因为303x ≠-，所以1y ≠ 所以 的值域为{|1}y y ≠. （分离常数法） （4）设u =，则0u ≥且 所以 即所以y x =+ . （换元法） 【例4】下列函数中哪个与函数y x =相等( )A.2y =B.yC.y =D.2x y x = 解：函数y x =的定义域为R ，对应法则为y x =.A中2y =的定义域为[0,)+∞，所以2y =与y x =不是同一个函数；B中y =的定义域为R，且y x ==；y =与y x =的定义域和对应法则都相同，所以为1322x ≤≤13{|}22x x ≤≤x y x =-3331333x x y x x x -+===+---3x y x =-212u x +=212u y u +=+21(1)2y u =+1[,]2+∞同一函数；C 中2y x =的定义域为R ，但2||y x x ==，所以2y x =与y x =不是同一个函数；D 中2x y x =的定义域为{|0}x x ≠，所以2x y x=与y x =不是同一个函数. 所以，应选B.【例4】某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})x x ∈个笔记本需要y 元.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}用解析法表示为5,{1,2,3,4,5}y x x =∈笔记本数x1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数表示如下图：注意：（1）函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。

（2）函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域。

【例5】已知(1)23f x x +=+，求()f x 和(1)f -.解：令1t x =+，则1x t =-，所以()2(1)321f t t t =-+=+，所以()21f x x =+，所以(1)2(1)11f -=⨯-+=-.注意：此方法为换元法.【例6】已知()f x 是一次函数，(())41f f x x =-，求()f x 的解析式.解：设()(0)f x kx b k =+≠，则2(())()()41f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=-对比系数得241k kb b ⎧=⎨+=-⎩ 解得213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k b =-⎧⎨=⎩ 所以函数()f x 的解析式为1()23f x x =-或()21f x x =-+. 注意：此方法为待定系数法，适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等).【例7】已知13()2()(0)f x f x x x+=≠，求()f x 的解析式. 解：用1x 代替x 得113()2()f f x x x+= 所以13()2()113()2()f x f x x f f x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去1()f x 解得32()(0)55x f x x x=-≠ 注意：此方法为消元法求函数的解析式，适用于同时含有()f x 和1()f x，或()f x 和()f x -. 【例8】已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩（1）求1(3),(),(5)2f f f -的值. （2）若()3f x =，求x 的值.解：（1）(3)236f =⨯=2111()()224f == (5)523f -=-+=-（2）①若1x ≤-，则23x +=，解得1x =，不满足1x ≤-，舍去；②若11x -<<，则23x =，解得x =x =x =11x -<<，舍去；所以x =③若2x ≥，则23x =，解得32x =，不满足2x ≥，舍去. 【例9】画出函数||y x =的图象. 解：,0||,0x x y x x x ≥⎧==⎨-≤⎩根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:【例10】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y 元，里程为x 公里，由题意可知，自变量x 的取值范围是（0，20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：2,053,5104,10155,1520x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数3．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋34．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．5．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( )A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值6. 下列两个函数是否表示同一个函数（1）2()||;()f x x g t t ==（2）24();()22x f x g x x x -==+- （3）24();()()f x x g x x ==（4）2();()f x x g x x ==7. 求下列函数的定义域（1）()f x = （2）()f x =8. 已知函数(21)f x -的定义域为(1,5]-，求()f x 的定义域.9. 求下列函数的值域（1） 223,y x x x R =-+∈（2）541x y x +=- （3）2y x =-10．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (2))的值．11．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．12．画出下列函数的图象:（1）()2,,||2f x x x R x =∈≤且（2）()2,(,||3)f x x x N x =+∈≤且13．已知二次函数()f x 的图象过点(0,5)A -，(5,0)B ，其对称轴为2x =，求其解析式．14. 已知2(1)22f x x x +=++，求()f x 的解析式.15．已知2()2()3f x f x x x +-=+，求()f x 的解析式.16．已知3,9()((4)),9x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(15),(7)f f 的值.17. 已知211,0()2(1),0x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，求使得()1f x ≥-成立的x 的取值范围.18. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费y 元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x 、3x (吨).(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。