2014 ～2015学年度第 二 学期《高等数学(理工)A2》试卷（ A 卷）适用年级专业：2014级材料科学与工程、材料成型与控制工程、机械设计制造及其自动化、工业工程、工业设计、电气工程与自动化、电子信息工程、自动化、测控技术与仪器、化学工程与工艺、环境工程、生物工程、土木工程、矿物加工工程、采矿工程 考 试 形 式：（ ）开卷、（ V ）闭卷 二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。

一、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在下面的表格内）1已知函数2(,)sin(31)54y y xyf x y x e x e =+-++，则(0,1)f =（ ）.（A ）sin(1)e - （B ）0 （C ）sin 3 （D ）sin(1)e - 2、对于函数22(,)231f x y x y =-+，点(0,0)（ ）. （A ）不是驻点 （B ）是极小值点（C ）是极大值点 （D ）是驻点而非极值点 3、若级数1n n a ∞=∑,∑∞=1n n b 都收敛，则（ ）(A)级数 1()n n n a b ∞=±∑发散 (B)级数 1n n n a b ∞=±∑发散(C)级数1()n n n a b ∞=±∑ 收敛 (D)级数1n n n a b ∞=±∑ 收敛4、若直线1123:322x y z l -+-==-与直线235:96x y z l k+-==-平行，则k =（ ） . （A ）6 （B ）2 （C ）-2 （D ）-65、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶……………………………………………线………………………………………订………………………………………装………………连续偏导数，则LPdx Qdy +=⎰Ñ（ ）.（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(（B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )(（C ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y Q x P )(（D ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Py Q )(二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将答案填在题中的横线上）1、函数22(,)ln(4)1f x y y x y =---的定义域是 .2、设()f x 是周期2T π=的函数，它在(,)ππ-上定义为3,0()12,0x f x x x ππ-≤≤⎧=⎨+<≤⎩，则)(x f 的Fourier 级数在x π=-处收敛于 ． 3、函数235u x yz =--在点(1,1,1)M 处沿方向(1,2,2)l →=-的方向导数lu∂∂= . 4、设22{(,)25}D x y x y =≤+≤，则二重积分2Dd σ=⎰⎰ .5、将函数2()x f x e =展开成x 的幂级数 .三、(本题满分7分）已知曲面∑:222239x y z ++=,求过(2,1,1)M -的切平面和法线方程.四、求下列偏导数或微分(本题共2小题，每小题6分，满分12分)1、已知22ln ,2,z u v u x y v xy ==-=，求,z z x y∂∂∂∂. 2、由方程35zxz e y =-+确定隐函数(,)z z x y =,求dz . 五、计算下列重积分(本题共2小题，每小题7分，满分14分） 1、计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 由直线2,1y x x ==和0y =围成的闭区域.2、计算()22d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =及平面2z =所围成的闭区域.六、计算下列曲线或曲面积分(本题共2小题，每小题6分，满分12分） 1、计算曲线积分2Lydx xdy -⎰，L 为沿2y x =从点(0,0)到(2,4)点.2、设∑是曲面22z x y =+被平面1z =所截下部分的下侧，求曲面积分zdxdy ∑⎰⎰七、判断题(本题共2小题，每小题6分，满分12分）1、判断正项级数215n n n ∞=∑是否收敛？2、判断级数1211(1)n n n n ∞-=+-∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 八、(本题满分6分）求幂级数2(2)nn x n ∞=-∑的收敛域.九、(本题满分7分）要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为每平方米180元，侧面造价为每平方米60元，设计总造价为2160元，问如何选取它的尺寸，才使水槽容积最大？2014～2015学年度第二学期《高等数学（理工）A2》试卷（A 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2014级理工类考试形式：（ ）开卷、（√）闭卷一、[三基类][教师答题时间：6分钟]选择题二、[三基类][教师答题时间：6分钟]填空题三、[一般综合型] [教师答题时间：4分钟]已知曲面222239x y z ++=，求过(2,1,1)M -的切平面和法线方程。

【解】令()222,,239F x y z x y z =++-2,4,6x y z F x F y F z '''=== 所以(2,1,1)(,,)(4,4,6)x y z F F F -'''=-。

取(2,2,3)n =-r(3分)过(2,1,1)M -的切平面：2(2)2(1)3(1)022390x y z x y z --++-=⇒-+-= (2分)过(1,1,1)M -的法线方程：211223x y z -+-==- (2分) 四、[三基类][教师答题时间：5分钟]求下列偏导数或微分1、已知22ln ,2,,z u v u x y v xy ==-=求,z z x y∂∂∂∂. 【解】z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222ln (4)4ln u x y v x y x xy v x -=⋅-=+ (3分)ln (2)z z u z v u v y x y u y v y v ∂∂∂∂∂=+=⋅-+∂∂∂∂∂=2222ln x y y xy y--+ (3分)2、由方程35zxz e y =-+确定隐函数(,)z z x y =.求dz .【解】(),,35z F x y z xz e y =-+-,3x y F z F ''==, 'z z F x e =- (2分)''''3,y x z zz z F F z z z x F e x y F e x∂∂=-==-=∂-∂- (2分) 3z z z z z dz dx dy dx dy x y e x e x∂∂=+=+∂∂-- (2分) 五、[三基类][教师答题时间：5分钟]计算下列重积分1、计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 由直线2,1y x x ==和0y =围成的闭区域.【解】积分区域 D 为 2010x y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩(2分) 21x Dxydxdy dx xydx =⎰⎰⎰⎰(3分)15011212x dx ==⎰ (2分) 2、计算()22d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =2z =所围成的闭区域.【解】使用柱面坐标计算，且积分区域表示成不等式如下Ω：02022r r z θπ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩(3分)2222223()rx y dxdydz r r drd dz d r dr dz πθθΩΩ+=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2分) 25234001162(2)2255r r r dr r πππ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ (2分) 六、[一般综合型] [教师答题时间：5分钟]计算下列曲线或曲面积分 1、计算曲线积分2Lydx xdy -⎰，L 为沿2y x =从点(0,0)到(2,4)点.【解】 L :2,:02y x x =→ (2分)()2222002223L ydx xdy x x x dx x dx ⎡⎤-=-⋅=-⎣⎦⎰⎰⎰ (2分) 2308x ⎡⎤=-=-⎣⎦ (2分)2、设∑是曲面22z x y =+被平面1z =所截下部分的下侧，求曲面积分zdxdy ∑⎰⎰．【解】把∑：22z x y =+在投影在xoy 平面，区域2202:101D x y r θπ≤≤⎧+≤⇒⎨≤≤⎩， (2分)则曲面积分22()Dzdxdy x y dxdy ∑=-+⎰⎰⎰⎰． (2分) 2122dx r rdr ππ=-⋅=-⎰⎰ (2分)七、[一般综合型] [教师答题时间：5分钟]判断题1、判断正项级数215n n n ∞=∑是否收敛？【解】因为25n n n V =又22211(1)11/(1)555n n n n V n n V n+++==+（2分） 1limn n nV V +→∞=115=< （2分）所以正项级数215n n n ∞=∑收敛． （2分）2、判断数项级数1211(1)n n n n∞-=+-∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 【解】令21n n u n +=,因为 211n n n +> 而 11n n∞=∑ 发散故 121(1)1n n nn ∞-=-+∑发散 （2分）21lim lim0n n n n u n →∞→∞+== （1分）因为 2312()(1),()x x f x x f x x x +--'=≥=当1x ≥时, f '()x <0, ∴()f x 是减函数 所以1()(1)n n u f n f n u +=>+= 故 交错级数1211(1)n n n n∞-=+-∑收敛 （2分） 即 原级数条件收敛 （1分）八、[综合型] [教师答题时间：4分钟]求幂级数2(2)nn x n ∞=-∑的收敛域. 【解】设2y x =- 因为21n a n =， 12211lim lim /1(1)n n n n a a n nρ+→∞→∞===+， (2分) 故幂级数20nn y n∞=∑的收敛半径1R =. (1分)当1y =±时，幂级数成为交错级数20(1)nn n∞=±∑收敛； (2分)所以幂级数2(2)nn x n ∞=-∑的收敛域为[1,3]． (1分) 九、[综合型] [教师答题时间：5分钟]要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为每平方米180元，侧面造价为每平方米60元，设计总造价为2160元，问如何选取它的尺寸，才使水槽容积最大？ 【解】设,,x y z 分别是水槽的长，宽，高，则容积为V xyz =由题设知18060(22)216032()36xy xz yz xy z x y ++=⇒++= (2分)求在此条件下的最大值构造辅助函数(,,)[32()36]F x y z xyz xy z x y λ=+++- (2分)()()320232022()0332()36x y z F yz y z x F xz x z y F xy x y z xy z x y λλλ⎧=++==⎧⎪=++=⎪⎪⇒=⎨⎨=++=⎪⎪=⎩⎪++=⎩选取它的长2,宽2，高3，才使水槽容积。