2002级量子力学期末考试试题和答案A 卷一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明)ˆˆ(22x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关系。

（6分）二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符Aˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2Lˆ和z L ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H 000000200030001ˆ 这里，H H H'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<<C ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令yx iS S S +=+，yx iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae-⋅=ρρηψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。

性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：[])()()()(2112212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=。

4、)ˆˆ(22x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2η=+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以)ˆˆ(22x x p x x p i -是厄密算符。

5、设Fˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。

以F 、G 和k 依次表示Fˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有4222k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。

坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关系为：2ˆη≥∆⋅∆x px二、解1、由于1ˆ2=A，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*12*12b b *12121b b =∴令δi e b =12，其中δ为任意实常数，得Bˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00)(ˆδδi i ee A B2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A在B 表象中算符Aˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e ，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即=---λλδδi i ee ⇒ 012=-λ 1±=∴λ对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi Ae ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δϕi A e 所以，在B 表象中算符Aˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121δi e 3、类似地，在A 表象中算符Bˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121δi e 从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121δδi i e e S三、解： 已知氢原子的本征解为：)3,2,1(12202Λ=-=n n a e E s n),()(),,(ϕθϕθφlm nl nlm Y r R r =，将)0,(r ψ向氢原子的本征态展开， 1、)0,(r ψ=∑nlmnlm nlmr c),,()0(ϕθφ，不为零的展开系数只有三个，即21)0(210=c ，21)0(310-=c ，21)0(121=-c ，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：54，于是归一化的展开系数为：515421)0(210==c ，525421)0(310-=-=c ， 525421)0(121==-c（1）能量的取值几率535251)0,(2=+=E W ，52)0,(3=E W ，平均值为：325253E E E += （2）2L ˆ取值几率只有：1)0,2(2=ηW ，平均值222ˆη=L （3）z L ˆ的取值几率为：535251)0,0(=+=ηW ，52)0,(=-ηW ，平均值η52ˆ-=z L2、0>t 时体系的波函数为：),(t r ψ=∑-nlmn nlm nlm t E ir c )ex p(),,()0(ηϕθφ)exp(),,()0()exp()],,()0(),,()0([33103102121121210210t E ir c t E i r c r c ηη-+-+=--ϕθφϕθφϕθφ)ex p(),,(52)ex p()],,(52),,(51[33102121210t E ir t E i r r ηη---+=-ϕθφϕθφϕθφ 由于E 、2Lˆ和z L ˆ皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与0=t 时的结果是一样的。

四、解：（1）H ˆ的本征值是方程0)ˆdet(=-I H λ的根)34)(2(200301022C C C C C -+---=----=λλλλλλ结果：2-=C λ，212C +±=λ，这是Hˆ的精确解。

（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：)2()1()0(n n n n E E E E ++=由题设可知：能量的一级修正为：011='H ，022='H ，C H ='33对于二级修正，有：2)2(103122)0(3)0(13113)0(2)0(12112)2(1C C E E H H E E H H E -=--+-=-''+-''= 2)2(301322)0(3)0(23223)0(1)0(21221)2(2C C E E H H E E H H E =--+-=-''+-''=0)0(2)0(32332)0(1)0(31331)2(3=-''+-''=E E H H E E H H E 所以，2121C E -=，2322C E +=，C E +-=23 将212C +±=λ展开：)211(21222Λ++±=+±=C C λ=⇒1λ2213C +，=2λ2211C -，)1(2<<C （3）对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。

五、解：021)2(212212121=-+-=+++=++ηηi i iS S S y x ，2121)2(212212121+=+-++=-+-=-+ηηηi i iS S S y x 2121)2(212212121-=---=+-+=+-ηηηi i iS S S y x021)2(212212121=+--+=---=--ηηi i iS S S y x所以+S 和-S 分别作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果是 021=++S ，2121+=-+ηS ，2121-=+-ηS ，021=--S结果表明：称+S 为自旋升算符是合理的，因为它将z 方向的自旋从2η-增加到2η。

同样，称-S 为自旋降算符，因为它将z 方向的自旋从2η降到2η-。

+S 和-S 容许我们从z S 的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。