变位圆柱齿轮跨测齿数的简便计算中煤北京煤机公司退休职工 周万峰摘要：本文给出一个简便的跨齿数计算的经验公式，并验证了该公式确定的跨齿数是合理的。

关键词：变位齿轮，跨齿数，公法线长度。

1、推荐笔者的经验公式目前变位齿轮的跨齿数计算公式可谓形式多样，五花八门：有教科书上公式，有各种手册上公式，有参考书上的公式，还有近些年来杂志上发表的公式等等。

如果将它们汇集起来恐怕不下十数个之多。

但最常见的还是表1所列的几个公式。

表1 几个常见的变位齿轮的跨齿数计算公式注：早先公式1多为教材所选用。

公式2《机修手册》选用。

公式3《齿轮手册》选用。

公式4多为《机械设计手册》选用。

不难看出，表1中的几个公式大都比较复杂：平方、开放、三角函数等等项目很多，计算起来十分不便。

而且有的公式有时确定的跨齿数也不合理。

有鉴于此，笔者通过分析研究，并进行了大量的算例计算以及反复验证后给出一个跨齿数计算的经验公式。

当压力角020=α时，经验公式为：z ——齿数，斜齿时z z '用代入（n tinvzz α='，nt inv αα可查手册）。

x ——变位系数，斜齿时代入用n x x 。

p ——与变位系数正负有关的系数。

当变位系数为正（)0>x 时p=1.4，当变位系数为负（)0<x 时p=1.9。

通过大量的算例验证后得知，当变位系数为负时，由经验公式确定的跨齿数与表1中的公式（4）确定的跨齿数是完全一样的（见表2）。

当变位系数为正时，经验公式与表1中的（2）、（3）、（4）确定的跨齿数绝大多数是相同的，只在极少数情况下两者的跨齿数不同。

但在不同的情况下，经验公式的情况比理论公式的情况还好些（见表3）。

这就说明经验公式确定的跨齿数是合理的。

表2 变位直齿轮跨齿数计算公式比较表（020=α）注：表2中的“理论公式”为表1中的公式（4）。

表3 角度变位直齿轮跨齿数计算公式比较)20 5(0==α，m注：表3中的“理论公式”为表1中的公式（4）2、经验公式合理性的验证众所周知，凡计算公法线长度首先应计算跨齿数k ，根据跨齿数k 计算跨k 个齿的公法线长度。

测量公法线长度时，如跨齿数偏多，则测量点（量具卡脚与齿廓的切点）靠近齿顶；如跨齿数偏少，则测量点靠近齿根。

这两种情况都使公法线长度测量不准，影响齿厚精度。

因此跨齿数的合理与否是至关重要的。

对标准齿轮而言，公法线的测量点应在分度圆附近；对变位齿轮而言，公法线的测量点应在齿高的中点部位，即应在直径为“xm d 2+圆”上。

所以，欲知公法线长度是否合理（也就时跨齿数是否合理），应该知道公法线的测量点在齿廓上的部位。

如标准齿轮公法线的测量点在分度圆附近，就说明标准齿轮的公法线长度是合理的，也就是说跨齿数是合理的。

如变位齿轮公法线的测量点在“xm d 2+圆”附近则说明变位齿轮的公法线长度是合理的。

也就是说跨齿数是合理的。

如此而已。

那么怎样知道公法线测量点在齿廓的什么部位呢？请看图1公法线测量图：由公法线性质知，公法线必切于基圆，ADO ∆∴是直角三角形。

22DO AD AO +=∴。

AD 是公法线长度的一半，DO 是基圆半径，AO 是测量点所在圆的半径。

这样，测量点所在圆直径22)2()2(2b k k d W d +=。

整理后此式，公式为：22b k k d W d +=k W ——直齿轮的公法线长度；b d ——直齿轮的基圆直径。

这样就将公法线测量点所在圆直径求出来了。

然后用齿顶圆直径（a d ）减去测量点所在圆直径（k d ）后被2除即为测量点至齿顶的距离（a s ），即2)(k a a d d s -=。

再用全齿高（h ）减去测量点至齿顶的距离（a s ）即为测量点至齿根的距离（f s ），即a f s h s -= 。

这样，测量点在齿廓上的部位就了如指掌了。

表3就是用这个办法做出的。

图1 公法线长度测量3、算 例为了更好地理解公法线长度合理性的验证方法以及证明经验公式的合理性、简便性，现给出一个算例进行验证。

算例一变位直齿圆柱齿轮，，，、，0121220 ) 6.0(x 5.1 ) 20(z 50 5======αx z mm m 分度圆直径， 2502mm d =齿顶圆直径，2722mm d a =全齿高h=9.75mm 。

现在用表1中的公式（2）（即《机修手册》上的公式）及经验公式计算跨齿数，看看这两个公式孰优孰劣。

(1)、计算公法线测量点所在圆直径k d22b k k d W d +=① 计算公法线长度kW[]ααπαsin 2)5.(cos xm zinv o k m W k ++-=用表1中的公式（2）计算跨齿数， 公式为 απαctg xz k 25.01800++=将各值代入公式 ，则 68.8205.125.0180205000=⨯++⨯=ctg k π。

按规定应取k=9。

用经验公式计算跨齿数， 公式为 x 5.09p zk ++= 将各值代入，则15.85.14.15.0950=⨯++=k 。

按规定应取k=8。

② 计算基圆直径b d92312.23420cos 250cos 0===αd d b 。

∴当9=k 时 []10.13420sin 55.122050)5.09(20cos 5000=⨯⨯++-=inv w k π。

当[]34.11920sin 55.122050)5.08(20cos 5 80=⨯⨯++-==inv w k k π时。

∴当k=9时 50.27092312.23410.13422=+=k d ；当k=8时 50.26392312.23434.11922=+=k d 。

（2）计算齿顶圆直径2a d2722=a d （题给）（3）计算公法线测量点至齿顶、齿根的距离a s 和f s测量点至齿顶的距离2)(k a a d d s -= ； 测量点至齿根的距离a s h - （75.9=h ）。

∴当k=9 时，75.02)50.270272(=-=a s ； 00.975.075.9=-=f s 。

当k=8时 ，25.42)50.263272(=-=a s ； 50.525.475.9=-=f s 。

由验证结果知，当用表1中的公式（2）计算k=9 时公法线的测量点至齿顶、齿根的距离是mm 00.975.0，测量点至齿顶的距离只有0.75mm 了，无法测量；而用经验公式计算k=8时，公法线测量点至齿顶、齿根的距离为mm 50.25.4 ，测量点正在齿高的中点部位，情况甚好，显然经验公式的跨齿数是合理的。

所以从这个随意给出的算例就验证了表1中的公式2不是个情况良好的公式（不解的是：今天众多手册大都选择了它），而经验公式从这个算例看来它是个不错的公式，且计算简便。

4、对几个公式的评价经验证，公式（1）不是个合理的公式，它的情况是最差的。

公式（3）、公式（4）是情况良好的公式。

公式（2）次之。

在有些情况下公式（2）确定的跨齿数无法测量，例如上面的例题。

那么公式（3）、（4）是否完美无缺呢？不是的。

在有些情况下（如在角度变位中）也有不足之处。

比如27=z ，71.0=x 的直齿轮用公式（3）、（4）计算，测量点至齿顶、齿根的距离为mm 82.771.1（见表3），显然测量点靠近齿顶了，情况不良。

但用经验公式计算，测量点至齿顶、齿根的距离为mm 53.400.5 ，显然情况比前者好（见表3）。

这说明经验公式是可以与公式（3）、（4）媲美的。

经验公式不仅确定的跨齿数大都是合理的，而且计算简便、快捷是它突出的优点。

尤其是计算斜齿轮时更显其快速的优越性。

用经验公式计算，只要知道跨齿数和变位系数两个值，跨齿数立等可取。

比如有个75=z ，4.1=x 的直齿轮，用经验公式计算（用计算器），跨齿数k=11，只要10秒钟左右；如用公式（3）、（4）计算恐怕至少要10多分钟。

因为你还未将公式抄下来，人家用经验公式就早已算出得数来了。

今天笔者将它推荐给设计齿轮的人们，使之不再受繁复的计算之苦。

严正声明周万峰笔者上面的这篇文章早已在1991年第9期的《机械制造》杂志上发表了。

笔者今天对该文略加修改后于2013年12月23日上传到“百度文库”，但未说明该文是否发表。

然数日后发现，在“百度文库”中有与笔者这篇文章极为相似的文章：它的公式与笔者文章的公式完全相同，且公式的系数值也与笔者的公式一摸一样。

难道这是巧合吗？笔者认为：这样的巧合几乎是不可能发生的。

然而人家的文章是2002年8月发表的，早已上传到“百度文库”了。

而笔者的文章也上传到“百度文库”了，但未说明发表日期。

这样，读者就会认为笔者有抄袭、剽窃他人著作之嫌。

为了不背这个黑锅，于是笔者将已上传的文章删除，写了此声明后再次上传到“百度文库”，将事情说清楚，以免误会。

2014年1月4日。