15.1 分式一．选择题1．式子，（x+y），，（m+2n），，，其中分式的个数是（）A．6个B．5个C．4个D．3个2．代数式，，，3x2﹣2，中，分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．使分式等于0的x值为（）A．2B．﹣2C．±2D．不存在4．能使分式的值为零的所有x的值是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝1或x＝﹣1D．x＝2或x＝1 5．已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（）A．8B．12C．16D．106．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．7．下列分式中，最简分式是（）A．B．C．D．二．填空题8．在有理式，，，，中属于分式的有．9．如果分式无意义，那么x的取值范围是．10．使有意义的x的取值范围是．11．分式有意义，则x的取值范围是．12．若分式无意义，则x取值范围是．若分式的值为零，则x的值于．13．当时分式的值为负．14．使分式的值是负数，x的取值范围是．15．若分式的值为正数，则x的取值范围．16．若把分式中的字母x和y同时增加3倍，分式的值将．17．下列各式①；②；③；④；⑤中分子与分母没有公因式的分式是．（填序号）．18．分式、与的最简公分母是．19．分式，的最简公分母是．三．解答题20．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列：（1）；（2）；（3）；（4）．21．把下列各式化为整式与真分式的和的形式．真分式：分子中字母的次数小于分母中字母的次数的分式叫真分式．（1）（2）（3）（4）（5）．22．通分：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与．参考答案一．选择题1．解：，，，这4个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：C．2．解：代数式，3x2﹣2，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．代数式，分母中含有字母，因此是分式．故选B．3．解：由分子x+2＝0解得：x＝﹣2，而当x＝﹣2时分母x2﹣4＝4﹣4＝0，分式没有意义，故选：D．4．解：∵，即，∴x＝±1，又∵x≠1，∴x＝﹣1．故选：B．5．解：﹣÷＝﹣×＝﹣＝＝，∵a为整数，且分式的值为正整数，∴a﹣5＝1，5，a＝6，10，∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．故选：C．6．解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；B、该分式的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，故本选项不符合题意；C、该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，故本选项不符合题意；D、该分式的分子、分母中含有公因式（x+y），不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：A．7．解：A、＝，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；B、是最简分式，故此选项符合题意；C、＝＝﹣，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；D、＝﹣＝﹣，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；故选：B．二．填空题8．解：在有理式中分母为2，不含字母，为整式；中分母为π，不含字母，为整式；，中分母含字母a，为分式；，中分母含字母x，y，为分式；中分母无字母，为整式．故属于分式的有：，．9．解：∵分式无意义，∴3x+7＝0，解得，x＝﹣，故答案为：x＝﹣．10．解：由题意得：x﹣3≠0，x+1≠0，x﹣2≠0，解得：x≠3和﹣1和2，故答案为：x≠3和﹣1和2．11．解：根据分式有意义的条件可知：3x+5≠0，解得x≠﹣．故答案为x≠﹣的实数．12．解：分式无意义，则可知x2﹣4＝0，解得x＝±2；分式的值为0可得不等式组，解得x＝﹣1；故答案为：±2；﹣1．13．解：∵x2+1≥1＞0，﹣4＜0，∴x为任意实数时，分式的值为负．故答案为：x为任意实数14．解：∵分式的值是负数，x2+1恒为正数，∴3﹣4x＜0，∴x＞．15．解：由题意得：＞0，∵﹣6＜0，∴7﹣x＜0，∴x＞7．故答案为：x＞7．16．解：中的字母x和y同时增加3倍，，故答案为：缩小．17．解：①公因式是：3；②公因式是：（x+y）；③没有公因式；④公因式是：m．⑤没有公因式；则没有公因式的是③、⑤．故答案为：③⑤．18．解：分式、与的最简公分母是24a3b2c3，故答案为：24a3b2c319．解：分式，的最简公分母是a（a+1）（a﹣1），故答案为：a（a+1）（a﹣1）．三．解答题20．解：（1）原式＝﹣；（2）原式＝﹣；（3）原式＝；（4）原式＝．21．解：（1）＝＝1+，（2）＝＝2+，（3）＝＝a﹣1+．（4）＝＝x +3+（﹣），（5）＝＝＝x ﹣3+．22．解：（1）最简公分母为6y 2，通分为：，；（2）最简公分母为3a 2b 2，通分为：，；（3）最简公分母为2（x +y ）2，通分为：，；（4）最简公分母为（2m +3）（2m ﹣3），通分为：，．《15.2 分式的运算》1.化简22512·35ab c c ab的结果是（ ） A. 43 B. 4c b C. 43a b D. 4b ac2.化简2b b a a a ⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭的结果是（ ）A.-ab +1B.-ab +bC.-a +1D.-a -1 3.已知2221x M x y x y÷=--，则M 等于（ ） A.2x x y + B. 2x y x + C. 2xx y - D. 2x y x-4.如果x 与它自身的倒数相等，那么226336x x x x x x --+÷-+-的值是（ ） A.1 B.-2 C.-3 D.05.化简32222215·5x y a ba b x y +-的结果为_________. 6.若22222()x y x y a x a y ax ay-+÷-+的值是5，则a =________.7.计算：（1）22692·43m m m m m -+---； （2）2222239a b a b ab a b+-÷；（3）222692693x x x x x x -+-÷-+； （4）226344(2)(3)x x x x x x --÷-+-+.8.先化简22242442m m mm m m-+÷-+-，再选择一个恰当的数代入并求值.知识点二 分式的乘除混合运算9.计算224331222a a b a b b ⎛⎫⎛⎫⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为（ ） A.-9a B. 9a C.-36a D.36a10.化简22164244244a a a a a a a ---÷⋅++++，其结果是（ ）A.-2B.2C. 2(2)2a a --+D. 22(2)a +11.计算：（1）23423279b b aba ab ÷⋅-；（2）()22222a ab b a bab a ab a-+--÷⋅.12.计算：（1）()22224444282a a a a a a a --+÷-⋅+--；（2）222132(1)441x x x x x x x --+÷+⋅-+-.13.已知310a a+=，求22212(1)21a a aa a a a -+-÷-⋅--的值.知识点三 分式的乘方14.下列各式计算正确的是（ ）A. 232942a b a b c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B. 33296262633x y x y z z ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C. 222423924xy x y z z ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D. 2242nnn a a b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（n 为整数） 15.已知223236x x y y ⎛⎫⎛⎫÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则42x y 的值为（ ）A.6B.36C.12D.316.若428416x x my y⎛⎫-= ⎪⎝⎭（m>0），则m 的值为__________. 17.计算：（1）33223m n mnn p p⎛⎫⋅-÷⎪⎝⎭；（2）322222x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）2332232 263ab a cc d b b⎛⎫-⎛⎫÷⋅⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.参考答案 1.答案：B解析：22512435ab c cc ab b⋅=.故选B.2.答案：C 解析：原式=(1)(1)1b a a a a a b--⋅=--=-+.故选C.3.答案：A解析：由题意得，222122()()()x x xM x y x y x y x y x y x y=÷=⋅-=--+-+，故选A. 4.答案：C 解析：原式=2(3)(2)(3)(2)·(2)(2)433x x x x x x x x x -++-=+-=--+， 21,1x x x=∴=，∴原式=1-4=-3.故选C. 5.答案：6ax y- 解析：33222222152()15655()()x y a b x y a b aa b x y a b x y x y x y++⋅=⋅=-+--. 6.答案：15解析：原式=22()()()1·()()x y x y a x y a x y x y a+-+=-+. 由题意得15a =，解得a =15，故答案为15.7.解：（1）原式=2(3)23(2)(2)(3)2m m m m m m m ---⋅=-+---+.（2）原式=22()963()()a b a b a ab a b a b a b +⋅=+--. （3）原式=2(3)2(3)(3)(3)(3)x x x x x x ---÷+-+=3(3)32(3)2x x x xx x -+-⋅=-+-. （4）原式=22(3)(2)(3)(2)(3)x x x x x --+⋅--- =2(3)2622x x x x ++-=---. 8.解：原式=2(2)(2)21(2)(2)m m m m m m m+--⋅=--+，∵m ≠2，m ≠0且m ≠-2，∴当m=1时，原式=11-=-1（答案不唯一）.9.答案：D解析：原式=24323212362a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 10.答案：C解析：原式2221642(4)(4)2(2)2···(2)2(2)4(2)44a a a a a a a a a a a a a ---+-+-÷==++++-+2(2)2a a --+.11.解：（1）原式=2342931··2722b a ab a b b ab -=-. （2）原式=2222()()ab a b a b a ba ab b a b a a b a ----⋅⋅=-⋅=---. 12.解：（1）原式=2(2)(2)1(2)1(4)(2)(2)(2)24a a a a a a a a a +--⋅⋅=+-+--+.（2）原式=2(1)(1)1(1)(2)1··(2)112x x x x x x x x x +----=-+--. 13.解：由310a a +=，可得3a +1=0且a ≠0，解得13a =-， 原式=2(1)121··(2)11a a a a a a a ---=----，当13a =-时，原式=3. 14.答案：D解析：A 项，232642a b a b c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此选项计算错误；B 项，332962628327x y x y z z ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此选项计算错误；C 项，222423924xy x y z z ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此选项计算错误；D 项计算正确.故选D. 15.答案：A解析：因为223664223426x x x y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫÷-=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以42x y 的值为6.16.答案：2解析：由题意得416m =，因为m>0，所以m=2.17.解：（1）原式=3333323281616333m n p mn p nn p mn mn p --⋅⋅==-.（2）原式=32262584162x y x x y x y y⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.（3）原式=2633342262427186a b b c b c d a b cd⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭.15.3《分式方程》一、单选题1．方程23x +＝11x -的解为( ) A ．x ＝3B ．x ＝4C ．x ＝5D ．x ＝﹣52. 若关于的方程无解，则的值为（ ）A. B. C. D.3. 分式方程x 2x －1＋21－2x ＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．x ＋2＝3B ．x －2＝3C ．x －2＝3(2x －1)D ．x ＋2＝3(2x －1)4．对于实数a ，b ，定义一种新运算“”为：a b ＝3a 2－ab.若(－3)x ＝2，则x 的值为( )A . －2B . －52C . 52D . 725. 解分式方程的结果是（ ）A. B. C.D.无解6. 若关于x 的方程=有增根，则m 的值与增根x 的值分别是 ( )A .-4，2B .4，2C .-4，-2D .4，-27．已知关于x 的分式方程+=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m≥2C ．m≥2且m≠3D ．m ＞2且m≠38．若关于x 的方程2x ＋ax －2＝－1的解为正数，则a 的取值范围是( )A . a ＞2且a ≠－4B . a ＜2且a ≠－4C . a ＜－2且a ≠－4D . a ＜29. 分式方程的解是（）A.B.C.D.10. 某施工队铺设一条长96米的管道，开工后每天比原计划多铺设2米，结果提前4天完成任务，求实际每天铺设管道的长度和实际施工的天数.琪琪同学根据题意列出方程:-=4.则方程中的未知数x 表示 ( ) A .实际每天铺设管道的长度 B .原计划每天铺设管道的长度 C .实际铺设管道的天数D .原计划铺设管道的天数二、填空题11．分式方程1201x x-=-的解是_____． 12. 若式子1x －2和32x ＋1的值相等，则x ＝________． 13．当x ＝______时，分式15－x 与分式22－3x的值互为相反数． 14. 若分式方程的解为，则的值为________．15. 拓广应用已知关于x 的分式方程k x ＋1＋x ＋k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是________________． 16．若关于x 的方程3x ＋6x －1＝mx ＋m x 2－x无解，则m ＝______． 三、解答题17．解分式方程：（1）1x x -﹣1=3 （2）=．（3）﹣1= （4）=118. 小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本.(1)若每本硬面笔记本比每本软面笔记本贵1.2元，则小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗?(2)已知每本硬面笔记本比每本软面笔记本贵a 元，是否存在正整数a ，使得硬面笔记本、软面笔记本的价格都是正整数，并且小明和小丽能买到相同数量的笔记本?若存在，求出a 的值;若不存在，请说明理由.19．若关于x 的分式方程3－2x x －3＋nx －2x －3＝－1无解，求n 的值．20. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． （1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。