0
t
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运动微分方程的解答
• 最大反应及简化
Sd x(t ) max
(t ) max SV x
(t ) g (t ) Sa x x
三点近似关系：
max
Sa SV 2 Sd
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反应谱的定义
s(t)= f(x’’g, ς, T1) Sa(ς, T1)
故
式中
x(t ) H () f 0eit
1 H ( ) 2 0 2 i 20
（15）
（16）
H ( ) 称为体系的频响函数或传递函数，它表 示在干扰 f (t )下反应 x(t )的振幅放大率，是线性体系 的固有频率特性。
对任意函数 f (t ) ，可用Fourier变换表示成 1 it ˆ f ( ) f ( t ) e dt （17） 2 逆变换
t
(0) x(0) x sin d t x(0) cosd t d
d 1 2
• 特解（强迫振动）——Duhamel 积分
x(t ) 1
d

t
0
g ( )e (t ) sin d (t )d x
• 结构方面
– 阻尼比 • 阻尼比越大，反应越小，曲线越平滑 – 结构周期 • 三段特性
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持时特性
• 一般特征 • 多种定义 • 简要评价
2.5 1.5
a(t) (m/s 2 )
0.5 -0.5 -1.5 -2.5 0 5 10 15 20 t (s) 25 30 35 40
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设计地震动反应谱（2010规范）
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反应谱的性质
• 结构反应特点 – 低频（长周期）系统 （<=0.1Hz） – 中频（中等周期）系统
• 放大作用 • SdPGD（有效峰值位移）
动力放大系数
Ba=Sa/PGA
Bv=Sv/PGV Bd=Sd/PGD
高频 中频 低频
– 高频（短周期）系统 （>=10Hz）
• SaPGA （有效峰值加速度） • 反应谱性质
– 反应谱由中频段的放大区 和两端的极限区三部分构 成 – 伪谱的性质 Sa SV 2 Sd
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T
反应谱的影响因素及规律
• 地震动方面
– 震级 • 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周 期越后移 – 震中距 • 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周 期越后移 – 场地 • 场地越软，峰值越大，反应谱峰点周期越后移
0.45αmax
[2 0.2 1 (T 5Tg )] max
0 0.1 Tg
1 0.02
0.05 4 32 小于0时取0
5 Tg
6.0
T(s)
直线下降段斜率调整系数 这里 为阻尼比
3.阻尼调整系数 2 1 0.05
0.08 1.6
故 h (0 ) 1 （8）作用一个单位脉冲，产生初速度
2 h 2 h ~ 齐次化（ 9） 0 0h 0 相当于 （ 10） 及h(0) 0, h(0) 1 1 t0 exp(0t ) sin d t 从而 h(t ) d 0 t0
微冲量
f ( s)ds
设 时刻的单位脉冲 (t s) 的反应 h(t s) 则 在微冲量作用下的反应为
s
dx(t ) h(t s) f (s)ds
（3）
总反应为
x(t ) 0 h(t s ) f ( s )ds
t
（4）
h(t s) 也称为脉响函数。 t s 时 h(t s) 0 （脉冲发生前无响应）
线性体系随机振动反应分析
研究线性体系在平稳或非平稳随机干扰下的反应，初 始条件可以确定的，也可以是随机的。 1、单自由度线性体系的随机反应分析 基本方程： 2 (1) 2 x x f (t ) x
0 0
式中
x(t )
是描述质点运动的位移；
c k 和 0 m 分别为结构体系的阻尼比和固有圆频率； 2 mk
Sa PGA • 水平地震影响系数 F m Sa m g PGA g G k G
• 水平地震影响系数曲线
1.建筑阻尼比取0.05； 2.建筑阻尼比不等于0.05时； 衰减指数
0.05 0.9 0.3 6
α
αmax
(
Tg T ) 2 max
第二组
第三组
0.25
0.30
0.30
0.35
0.40
0.45
0.55
0.65
0.75
0.90
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场地类别的划分
场地土类型 坚硬
中硬
中软
III III
0 3 9 80
软弱
IV
场地覆盖 层厚度(m)
场地土类别根据岩土层的剪切波速确定，分成5类。
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0 0 0 0 h dt 0 d h h 0 h(0 ) 0 0 0 2 h ( t ) 2 dh 2 h 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 h(t ) dt 0 0
2、时程分析用的地震加速度最大值
烈度 多遇地震 罕遇地震 6 18 125 7 36（55） 220（310） 8 72（110） 400（510） 9 140 620
注：括号内数值分别用于设计基本加速度为0.15g和0.30g的地区
3、特征周期
场地类别 第一组 I0 0.20 I 0.25 II 0.35 III 0.45 IV 0.65

的解
(11)
式中
d 0 1
2
2）频域分析法
2 x 2 x 0 x f 0 eit


（12）
初始条件： x(0) x(0) 0 设 x(t ) Aeit 则
(i)
2
2 20i 0 Aeit f 0eit

（14）
f (t ) f1 (t ) / m ； m, k , c 为体系的质量，弹簧刚度和粘滞阻尼系数。
初始条件
x ( 0) x ( 0 ) 0

（ 2）
1）时域分析 Duhamel积分法：将整个荷载时程看作是由 一体系连续的短持续时间脉冲组成。先求短 脉冲作用下的反应，然后用叠加原理求得总 反应
x’’g(t)
x’’g(t)
m(x’’+x’’g) cx’ kx
– 方程建立——达朗贝尔原理
•
g ) cx kx 0 m( x x
2 g x 2x x x
• 运动微分方程的解答
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运动微分方程的解答
• 通解（自由振动）
x(t ) e
考虑
s0
的情况，故当

时，
f (t ) (t )
2 0

0
h 20 h h (t )
2 (h 20 h 0 h)dt 1
（5） （6）

0
两端作跨零积分，有

0
0
(h 20 h h)dt 1
2 0


（7）
利用（6），得
f (t )
x(t ) 来自it ˆ f ( )e dt
（18）
即 在任意荷载作用下，
it ˆ H ( ) f ( )e dt
（19）
3）脉动函数和频响函数的关系
设 f (t ) (t ) 是单位脉冲时，它的Fourier变换 由式（17），可求得为 1 1 it ˆ （20） f ( ) (t )e dt 2 2 代入式（19），则得单位脉冲作用下得反应函数为
• 设初始位移和初始速度为零，则有
x(t )
d 0
1
t
g ( )e (t ) sin d (t )d x
• 速度
(t ) g ( )e x x
0
t
( t )
cosd (t ) sin d (t ) d d


（23）
大写字母
X,F
为随机变量

初始条件：
X ( 0) X ( 0) 0
（24）
反应谱
• • • • 单自由度弹性体系的地震反应 反应谱的定义 反应谱的性质 反应谱的影响因素及规律
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单自由度弹性体系的地震反应
• 单自由度弹性体系
m
• 运动微分方程
– 受力分析
• 恢复力——虎克定律 • 阻尼力——瑞雷阻尼 • 惯性力——牛顿第二定律 kc
1 h(t ) 2



H ( )eit d
（21）
即： 变换时
1 除 2 处，脉响函数h(t ) 和频响函数 H () 是Fourier
H ( ) h(t )e


it
dt
（22）
2．平稳随机干扰下的反应
X 20 X X Fs (t )
2 0
• 绝对加速度
2 2 ( t ) x(t ) xg (t ) d x g ( )e (1 2 ) sin d (t )d 0 d t
g ( )e (t ) cos d (t )d 2 x
Max
ς T1
x’’g(t)
Duhamel 积分
Sv(ς, T1)
Sd(ς, T1)
Sy
ς Ti