式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可 以由二阶常系数微分方程描述。 显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶 16 次等于系统中独立储能元件(惯性质量、弹簧)的数量。
机械旋转系统
i(t)
0
o(t) 0
J
TK(t)
K
TC(t)
柔性轴
粘性液体
齿轮
C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
析和设计。
“叠加 性”、 “均匀性”
5
4. 机械系统常见非线性特性
输出 b 输出 输出
0 a 饱和（放大器）
输入
0 死区（电机）
输入
0
输入
间隙（齿轮）
A.饱和：如运算放大器当输入大于一定值时，输出被限制在 ±15V，达到饱和。 B.传动间隙：齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统， 有传动间隙，在输入与输出间有滞环关系。P11图2-1 C.死区：有输入无输出，如负开口的液压伺服阀。P11图2-2 D.摩擦力：干摩擦力与速度方向相反，P12图2-3、图2-4
25
常用拉氏变换表
26
应用拉氏变换解线性微分方程
求解步骤 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
原函数 （微分方程的解） 拉氏反变换 象函数 解 代 数 方 程 微分方程
拉氏变换
象函数的 代数方程
7
5. 非线性系统的线性化
8
y
y=f(x) A(x0,y0) 0 x0 x
A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处 连续可微，则可将函数在平衡点附近 展开成台劳级数：
y0
dy y f ( x) y 0 dx
1d y ( x x0 ) 2! dx 2 x0
2
饱和（放大器）
( x x 0 ) 2
机械工程控制基础
第二章 系统的数学模型及传递函数
郑海明
Wednesday, August 14, 2013
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
控制系统数学模型概述
一、为什么要建立控制系统的数学模型？
1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要
二、什么是控制系统的数学模型？
描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式 三、如何建立数学模型？ 1、提出合理的假设，忽略次要因素，抓住本质。 2、建立恰当的数学描述
A1 A2 A3 B1 B2 s s2 s3 s2 s3
29
1 1 A1 2 s 5s 6 s 0 6
1 1 A2 2 s( s 3) s 2 1 1 A3 s( s 2) s 3 3
t t
14
K
K v(t )dt
阻尼
v1(t) x1(t)
fC(t)
v2(t) x2(t) C
fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv(t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C dt
0 xo(t) 静止（平衡）工作点作为 零点，以消除重力的影响
d2 f i (t ) f C (t ) f K (t ) m 2 xo (t ) fK(t) fC(t) K dt C f K (t ) Kxo (t ) d f C (t ) C xo (t ) dt 机械平移系统及其力学模型 d2 d m 2 xo (t ) C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt dt
x0
忽略二次以上的各项，上式可以写成
y kx
其中：
x0
y y y 0
dy k dx
x x x0
9
这就是非线性元件的线性化数学模型
• 上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 y0 = f (x0)称为系统的静态方程； • 增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统 或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工 作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的 初始条件均为零。 • 对多变量系统，如：y =f(x1,x2)，同样可采用泰勒 级数展开获得线性化的增量方程。 f f y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) x1 x1 x10 x2 x1 x10 增量方程： y y0 y K1x1 K 2 x2
静态方程： y0 f ( x10 , x20 )
x2 x20 x2 x20
f 其中： K1 x1
f , K2 x1 x10 x10 x1 x10 2
x2 x20
x2 x20
注意：以上几种方法只适用于一些非线性 程度较低的系统，对于某些严重的非线性 (本质非线性性质)，如：
6
• 实际的系统通常是非线性的，线性只在一定的工 作范围内成立。 • 判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的， 可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一次 的项，或者导数项的系数是输出变量的函数，则 此微分方程是非线性的。（P11） • 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下， 可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的 动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能 够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。 • 本质非线性性质：在工作点附近存在不连续直线、 跳跃、折线、非单值关系等等。
0 继电特性
0 饱和特性
不能作线性化处理，一般用相平面法及描 述函数法进行分析。
11
课本P13 图2-5
(P14式2-10）
12
§2-2 系统的微分方程
1.
（P14）
（P27，负载效应）
13
2. 典型元部件所遵循的物理定律：
机械系统
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为 质量、弹簧和阻尼三个要素： x (t) 质量
( s 5) xo (0) xo (0) B1 3xo (0) xo (0) s3 s 2 ( s 5) xo (0) xo (0) B2 2 xo (0) xo (0) s2 s 3
对方程右边进行拉氏变换：
1 Lxi (t ) X i ( s ) L1(t ) s
2
从而：
1 ( s 5s 6) X o ( s ) ( s 5) xo (0) xo (0) s 1 ( s 5) xo (0) xo (0) X o ( s) 2 s( s 5s 6) s 2 5s 6
21
3.例2-1：列写下图所示机械系统的微分方程 解：1)明确系统的输入与输出
输入为f(t),输出为x(t)
2)列写微分方程，受力分析

f kx c x m x
3)整理可得：

m x c x k x f
22
例2-2：列写下图所示电网络的微分方程
解：1)系统的输入与输出 输入为u1,输出为u2 2)列写原始微分方程
1、机理分析法
2、实验辩识法
3
§2-1 系统的数学模型
1.
数学模型应能反映系统内 在的本质特征，同时应对 模型的简洁性和精确性进 行折衷考虑。
2.
4
• 如果方程的系数为常数，则为线性 线性与非线性系统 3.意义：在线性系统中，根据叠加原理，如果
定常系统； 有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分 • 如果方程的系数是时间t的函数， 别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统 则为线性时变系统； 的响应，然后将它们叠加。此外每个外作用在 (线性时不变系统) 数值上都可只取单位值。从而简化了系统的分
电感 i(t) L u(t) R-L-C无源电路网络
di (t ) d q(t ) u (t ) L L dt dt 2
2
L
ui(t)
R
i(t) C
uo(t)
R-L-C无源电路网络
20
d 1 ui (t ) Ri (t ) L dt i (t ) C i (t )dt ui(t) 1 uo (t ) i(t )dt C
2
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数； C —粘性阻尼系数
18
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i(t)
R
u(t) 电容 i(t)
C u(t)
dq u (t ) Ri(t ) R dt
1 u (t ) i (t )dt C 1 = q C
19
v (t) fm(t) m
参考点
d d2 f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) dt dt
f K (t ) K x1 (t ) x2 (t ) Kx(t ) K
弹簧
x1(t) v1(t)
fK(t)
x2(t) v2(t)
fK(t)
v1 (t ) v2 (t )dt
3、非线性环节的处理
2
四、实际工程应用中建立模型的一般步骤
1、把各部件尽可能地作线性化处理； 2、建立线性化的系统模型（近似模型）； 3、求系统的近似特性； 4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。 五、古典控制理论中控制系统模型描述方法 1、微分方程 2、传递函数
六、建立控制系统数学模型的一般方法
dxo (t ) L 5 5sX o ( s ) 5 xo (0) dt
28
L6 xo (t ) 6 X o ( s ) d 2 xo (t ) dxo (t ) 即： L 5 6 xo (t ) 2 dt dt