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人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷

∴△AEB≌△AEC(SSS),∴∠BEA=∠CEA= ,
∴∠ADB=30°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识,涉及的知识点多、综合性强,难度较大,作点D关于直线AB的对称点E,构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键.
∴BD=6厘米,
若△BPD≌△CPQ,则需BD=CQ=6厘米,BP=CP= BC= ×9=4.5(厘米),
∵点Q的运动速度为3厘米/秒,
∴点Q的运动时间为:6÷3=2(s),
∴v=4.5÷2=2.25(厘米/秒);
若△BPD≌△CQP,则需CP=BD=6厘米,BP=CQ,
则有 ,
解得:v=3
∴v的值为:2.25或3厘米/秒
【详解】
解:过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J
在 和 中
∴ ≅

∴ (8字形)

在 和 中
∴ ≅


在 和 中



3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等,得出相关的边相等,学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
2.如图,在 中, ,点 和点 在直线 的同侧, ,连接 ,则 的度数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据相邻的两个三角形有一个公共点,列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形,关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA19,写出坐标即可.
【详解】
解:设到第n个三角形顶点的个数为y
则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,
3.如图, 是 的角平分线, ,垂足为 ,且交线段 于点 ,连结 ,若 ,设 ,则 关于 的函数表达式为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,由等腰三角形的性质可得BD是AE的垂直平分线,进而得到AD=ED,求出 的度数即可得到 关于 的函数表达式.
【详解】
∵ 是 的角平分线,
故答案为:20°或40°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用,解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等,得出BP平分∠A'PC,解题时注意分类思想的运用.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=_____cm.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,将△ABC绕点B旋转α(0<α<60°)到△A′BC′,边AC和边A′C′相交于点P,边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时,则α=__________.
【答案】20°或40°
【解析】
【分析】
过B作BD⊥AC于D,过B作BE⊥A'C'于E,根据旋转可得△ABC≌△A'BC',则BD=BE,进而得到BP平分∠A'PC,再根据∠C=∠C'=30°,∠BQC=∠PQC',可得∠CBQ=∠C'PQ=θ,即可得出∠BPQ= (180°-∠C'PQ)=90°- θ,分三种情况讨论,利用三角形内角和等于180°,即可得到关于θ的方程,进而得到结果.
【详解】
延长BD交AC于点E,
∵BD⊥CD,
∴∠BDC=∠EDC=900,
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ECD
又∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴BD=ED,CE=BC=5,
∴AE=AC-CE=8-5=3,
∵ ,
∴BE=AE=3,
∴BD=1.5
【点睛】
此题考察等腰三角形的性质,延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.
∴△A2B2A3的边长为1,
同理可得:△A3B3A4的边长为2,△A4B4A5的边长为:22=4,△A5B5A6的边长为:23=8,则△A6B6A7的边长为:24=16.
故选:C.
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和外角定理,运用类比的思想,依次求出各等边三角形的边长,解题关键是总结规律,得出结论.
12.如图, ,点 是 内的一定点,点 分别在 上移动,当 的周长最小时, 的值为()
延长BM至G,使MG=BM=4,连接FG、DG,如图所示:
∵M为EF中点,
∴ME=MF,
在△BME和△GMF中,

∴△BME≌△GMF(SAS),
∴FG=BE,∠MBE=∠MGF,S△BEM=S△GFM,
∴FG∥BE,
∴∠C=∠GFC,
∵∠A+∠C=180°,∠DFG+∠GFC=180°,
∴∠A=∠DFG,
故答案为:2.25或3.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质.注意垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
6.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,E、F分别在BC、CD上,且AB=BE,AD=DF,M为EF的中点,DM=3,BM=4,则五边形ABEFD的面积是_____.
∴ ,





∵ ,




∴ ,
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及判定,三角形的内角和定理,三角形外角定理,角的和差倍分等相关知识,熟练运用角的计算是解决本题的关键.
4.已知如图,每个小正方形的边长都是 都在格点上, 都是斜边在 轴上,且斜边长分别为 .的等腰直角三角形.若 的三个顶点坐标为 ,则依图中规律,则 的坐标为___________
【答案】8cm.
【解析】
【详解】
解:如图,延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN,
∵∠EBC=∠E=60°,
∴△BEM为等边三角形,
∴△EFD为等边三角形,
∵BE=6cm,DE=2cm,
∴DM=4,
∵△BEM为等边三角形,
∴∠EMB=60°,
分两种情况讨论:①若△BPD≌△CPQ,根据全等三角形的性质,则BD=CQ=6厘米,BP=CP= BC= ×9=4.5(厘米),根据速度、路程、时间的关系即可求得;②若△BPD≌△CQP,则CP=BD=6厘米,BP=CQ,得出 ,解得:v=3.
【详解】
解:∵△ABC中,AB=AC=12厘米,点D为AB的中点,
∵∠AOB=30°,∠DMO=90°,PD=DO=14,
∴DM=7,∠NPO=60°,∠DPO=30°,
∴∠NPD=∠DPO=30°,
∵DP=DP,∠PND=∠PMD=90°,
∴△PND≌△PMD,
∴ND=7,
∵EF=6,
∴DF=ND-NF=7-3=4,
∴OF=DF+OD=14+4=18.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质定理,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
∵AB=BE,
∴AB=FG,
在△DAB和△DFG中,

∴△DAB≌△DFG(SAS),
∴DB=DG,S△DAB=S△DFG,
∵MG=BM,
∴DM⊥BM,
∴五边形ABEFD的面积=△DBG的面积= ×BG×DM= ×8×3=12,
故答案为:12.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识;熟练掌握等腰三角形的判定由性质,证明三角形全等是解题的关键.
∵AN⊥BC,
∴∠DNM=90°,
∴∠NDM=36°,
∴NM=2,
∴BN=4,
∴BC=8.
10.如图, 为 内一点, 平分 , , ,若 , ,则 的长为_______.
【答案】1.5
【解析】
【分析】
延长BD交AC边于点E,根据BD⊥CD,CD平分∠ACB,得到三角形全等,由此求出AE 的长,再根据 ,求出BE 的长即可求得BD.
5.如图,△ABC中,AB=AC=12厘米,BC=9厘米,点D为AB的中点,如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒,则当△BPD与△CQP全等时,v的值为_____________
【答案】2.25或3
【解析】
【分析】
7.如图,已知 ,点 在边 上, ,点 , 在边 上, .若 ,则 的长为____.
【答案】18
【解析】
【分析】
由30°角我们经常想到作垂线,那么我们可以作DM垂直于OA于M,作PN垂直于OB于点N,证明△PMD≌△PND,进而求出DF长度,从而求出OF的长度.
【详解】
如图所示,作DM垂直于OA于M,作PN垂直于OB于点N.
【答案】30°
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出 的度数,然后作点D关于直线AB的对称点E,连接BE、CE、AE,如图,则BE=BD,∠EBA=∠DB,∠BEA=∠BDA,进而可得∠EBC=60°,由于BD=BC,从而可证△EBC是等边三角形,可得∠BEC=60°,EB=EC,进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC,可得∠BEA的度数,问题即得解决.
【详解】
解:∵△A1B1A2为等边三角形,
∴∠B1A1A2=60°,A1B1=A1A2,
∵∠MON=30°,
∴∠OB1A1=60°-30°=30°,
∴∠MON=∠OB1A1,
∴B1A1=OA1= ,
∴△A1B1A2的边长为 ,
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