已知没有规律的三个点的坐标 已知 a:b:c, 并且已知一个点的坐标已知顶点及另一点的坐标顶点式 y a(x m)2 n 已知对称轴和另外两点的坐标 已知最值和另外两点的坐标二、二次函数的图像 1、二次函数的平移问题1)、平移的实质： a 相同。

( a 决定二次函数的形状、开口和开口的大小，其中定开口的大小， a 的正负决定开口方向。

注意，两个二次函数的 a 相等，则这两个二次函数的形状就是相同的 )( 2)、平移的规律： 顶点坐标的平移。

2、二次函数的对称变换：y a(x m)2 k 与y a(x+m)2 k 关于 y 轴对称 y a(x m)2 k 与y a(x+m)2 k 关于 x 轴对称3、二次函数的图像与 a,b, c 及其相关代数式 (a b c,2a b,b 2 4ac )之间的关系开口向上 a 0开口向下 a 0 bL 对称轴在 y 轴右侧 ab 0 bL 对称轴在 y 轴左侧 ab 0c抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴 c 0 cL 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴 c 0a b cL 看 x 1时函数的值 a b cL 看 x 1时函数的值抛物线与 x 轴有两个交点 b 2 4ac 0b 2 4acL 抛物线与 x 轴有一个交点 b 2 4ac 0抛物线与 x 轴没有交点 b 2 4ac 0、解析式的求法二次函数般式 y ax 2 bx两点式(交点式) y a(x x 1)(x x 2)a 决 ab cLm 1 的实数）其中正确的结论有（点的横坐标分别为 x 1， x 2，其中－ 2< x 1<－1， 0<① 4a －2b+c<0；② 2a －b<0；③ a<－1；④ b 2+8a>4ac 。

其中正确的有（ ） A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4 个2（3）如图，抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴的一个交点 A 在点（-2 ，0）和（ -1 ，0）之间（包 括这两点），顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则 ①abc # . 0（填“ ”或“ ”）；② a 的取值范围是 # .三、二次函数的性质① 当 a>0 时，抛物线开口向上，在对称轴左侧， y 随 x 增大而减小；在对称轴右侧， y 随 x 增大而增大。

它有最底点，所以存在最小值， 这个最小值就是当 x 取顶点横坐标， 顶点纵坐 标的值就是二次函数的最小值。

② 当 a<0 时，抛物线开口向下，在对称轴左侧， y 随 x 增大而增大；在对称轴右侧， y 随 x 增大而减小。

它有最高点，所以存在最大值， 这个最大值就是当 x 取顶点横坐标， 顶点纵坐 标的值就是二次函数的最大值。

1例 2、已知 M,N 两点关于 Y 轴对称， 且点 M 在双曲线 y 上，点 N 在直线 y x 3 上，2a bL b2a+bL 由 - b2a2a b L 由 - b2a1(- b <1)可得 2a 1(- 2b a < 2aLL 注意a 的正负 1）可得例 1、（ 1）已知二次函数 yax 2 bx c(a 0）的图象如图所示，有下列 5 个结论： ① abc 0 ；② b a c ；③ 4a 2b0；④ 2c 3b ；⑤ a b m(am b) ，）2）如图 4 所示，二次函数 y ax 2 bx x 2<1，下列结论：2x设点 M 的坐标为（a,b），则二次函数y abx2（a b）x 有最大值还是最小值，那最大（小）值是多少？四、二次函数的基本应用最大值是多少?1、利润问题例 3、（ 1）、某商店购进一批单价为 20 元的日用商品，如果以单价 30 元销售，那么半月可售出 400 件，根据销售经验（提高销售单价会导致销售量的减少），即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件，如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？（2）、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 S（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 S与 t 之间的关系）。

根据图象提供的信息，解答下列问题：①由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间 t （月）之间的函数表达式；②求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元；③求第 8 个月公司所获利润是多少万元？（3 ）、某高科技发展公司投资 500 万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金 1500 万元进行批量生产。

已知生产每件产品的成本为 40 元，在销售过程中发现：当销售单价定为 100 元时，年销售量为 20 万件；销售单价每增加 10 元，年销售量将减少 1万件，设销售单价x为元，年销售量为y万件，年获利z （年获利＝年销售额－生产成本－投资）万元。

①试写出y 与x 之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）②试写出z 与x 之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）③计算销售单价为 160 元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？④公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于 1130 万元。

请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？ 2、距离（长度）问题例 4、某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道,其高度为 6 米 ,宽 OM=12 米 ,现以 O点为原点 ,OM 所在直线为 x 轴建立如图的直角坐标系 .①②③ OM请直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标 .求出这条抛物线的解析式 .施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD使, A、D 在抛物线上 ,B 、C 在地面上,为了筹备材料 ,需求出“脚手架”三根木料 AB、AD、DC 的长度之和的最大值 .试问 :其4、分段函数例 6、（ 1）、通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时 间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态， 随后开始分散．学生注意力指标数 y 随时间 x （分钟）变化的函数图象如图所示（ y 越大表 示注意力越集中） .当0≤ x ≤10时，图象是抛物线的一部分 ，当 10≤x ≤20和20≤x ≤40时， 图象是线段．⑴当 0≤x ≤10 时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式；⑵一道数学综 合题，需要讲解 24 分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数 都不低于 36．（2）、王亮同学善于改进学习方法， 他发现对解题过程进行回顾反思， 效果会更好．某一天 他利用 30 分钟时间进行自主学习． 假设他用于解题的时间 x （单位：分钟）与学习收益量 y 的关系如图甲所示， 用于回顾反思的时间 x （单位： 分钟）与学习收益量 y 的关系如图乙所 示（其中 OA 是抛物线的一部分， A 为抛物线的顶点） ，且用于回顾反思的时间不超过用于 解题的时间．① 求王亮解题的学习收益量 y 与用于解题的 时间 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的 取值范围；② 求王亮回顾反思的学习收益量 y 与用于回 顾反思的时间 x 之间的函数关系式；3、过隧道及过桥问题例 5、如图所示，隧道的截面是由抛物线和长方形构成的。

长方形的宽是 2 米，长是 8 米，抛物线可用 表示。

① 一辆卡车高 4 米，宽 2 米，它能通过该隧道吗？③王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这学习收益总量解题的学习收益量回顾反思的学习收益量图）x 图(3)、由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖．某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1 万元／台，并预付了 5 万元押金。

他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于 34 万元，但不高于 40 万元．若一年内该产品的售价y (万元／台) 与月0.05x 0.25 (1 x 4)次x(1 x 12 且为整数) 满足关系是式：y 0.1 (4 x 6) ，一年后发现0.015 x 0.01 (6 x 12) 实．际．每月的销售量p (台)与月次x之间存在如图所示的变化趋势．①直．接．写．出．实．际．每月的销售量p (台)与月次x 之间的函数关系式；②求前三个月中每月的实际销售利润w (万元)与月次x 之间的函数关系式；③试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价；④请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．五、二次函数和方程及不等式的相互关系及相互转换函数作为代数援助几何的衍生物，起着一个桥梁作用，因此在解决函数问题时，应该注意数型结合。

作为代数的主体，方程和不等式与函数之间有着密切的联系，解方程不等式问题，从实质上说，是研究相应函数的零点、正负y f (x)，它与x 轴值问题．对于函数交点的横坐标就是方程f (x) 0的解，而yf(x)在x轴上面(下面)的部分所对应的x的取值范围就是不等式f (x) 0( f(x) 0 )的解集。

对于函数f(x) 和g (x) ，它们交点的横坐标就是方程f (x) g(x) 的解，而不等式f(x) g(x)( f(x) g(x) )的解集反映在图像上，就是f ( x)的图像在g(x) 图像上面的部分所对应的x的取值范围。

例 7、(1)、二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：①写出方程ax2 bx c 0 的两个根．②写出不等式ax2 bx c 0 的解集．③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．④写出方程ax2 bx c 6 的实数根：⑤若方程ax2 bx c k 有两个不相等的实数根，写出k 的取值范围．(2)、阅读材料，解答问题．用图象法解一元二次不等式：x2 2x 3 0 ．解：设y x2 2x 3，则y是x的二次函数．标系中，画出该反比例函数及（ 2）中抛物线的图象，并利用图象Q a 1 0， 抛物线开口向上．又Q 当 y 0时， x 2 2x 3 0 ，解得 x 11，x 2 3 ．由此得抛物线 y x 2 2x 3 的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当 x 1或 x 3 时， y 0．x 2 2x 3 0的解集是： x 1或 x 3．① 观察图象，直接写出一元二次不等式：2x 2 2x 3 0 的解集是 _____________2x 2 1 0 ．（大致图象画在答上）图2图1① 求 c 的取值范围；② 若抛物线经过点（ 0， -1），试确定抛物线 的解析式； ③若反比例函数 的图象经过（ 2）中抛物线上点（ 1， a ），试在图2 所示直角坐 与 的大小。