江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三数学上学期期末联考试题 文一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若集合{}240∣=-<A xx ，{lg 0}B x x =<∣，则A B =（ ）A ．(2,1)-B ．(2,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)2．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．既不充分又不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +==，则20a = （ ）A ．4B ．6C ．10D ．124．已知1a =，(0,2)=b 且1a b ⋅=，则向量a 与b 夹角的大小为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．6π 5．函数()()13,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨--≥⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ）A ．1,2B ．4(,)3-∞C ．4(1,)3D ．[)2,+∞6.若变量x ，y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．3-C ．9-D ．10-7．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15168．已知ABC 是面积为93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为32π3，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．3 B ．32C ．1D ．39．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A ．35222++B ．12252++C ．1252++ D ．3252++ 10．已知抛物线2:12C x y =上一点P ，直线:3l y =-，过点P 作PA l ⊥，垂足为A ，圆22:(4)1M x y -+=上有一动点N ，则||||PA PN +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则(1)(3)(5)(2019)f f f f +++=（ ）A ． 1010aB ．2aC ． aD ．012．已知双曲线2222:1x y C a b-=，(0,0)a b >>过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若12AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．2C ．3D ．5二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =_______.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 1sin 2B C =，222c b ab -=，则cos A =__________．15．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_______ ①平均数3x ≤； ②标准差2S ≤； ③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4.16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD，,4,BC CD BC CD AB AD ⊥====，则三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积为________．三､解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()*612,n n n S a a n =++∈N .（1）求{}n a 的通项公式：（2）设数列{}n b 满足2,n n n a b n n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数，，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .18．随着支付宝和微信支付的普及，“扫一扫”已经成了人们的日常，人人都说现在出门不用带钱包，有部手机可以走遍中国.移动支付如今成了我们生活中不可缺少的一部分了，在某程度上还大大的促进了消费者的消费欲望，带动了经济的发展.某校高三年级班主任对该班50名同学对移动支付是否关注进行了问卷调查，并对参与调查的同学的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到对移动支付不关注的男生的概率是多少？ （2）现按照分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求2人中至少有1人是女生的概率.（3）根据表中的数据，能否有97.5%的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点. （1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ； （2）已经3AD =，22AB AP CD ===，若,E F 分别是,PC PB 的中点，求点B 到平面AEF 的距离.20．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,3M ，其上､下顶点分别为点A ，B ，且直线AM ，MB的斜率之积为34AM BM k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左顶点(),0Q a -作两条直线，分别交椭圆C 于另一点S ，T .若2QS QT k k +=，求证：直线ST 过定点.21．已知1()2(2)ln f x ax a x x=--+（0)a ≥ （1）当a ＝0时，求f （x ）的极值； （2）当a ＞0时，讨论f （x ）的单调性；（3）若对任意的a ∈（2, 3），x ­1, x 2∈[1, 3]，恒有（m －ln3）a －2ln3＞|f （x 1）－f （x ­2）|成立，求实数m 的取值范围. 选做题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程； （2）若曲线2C ：(0)3πθρ=>分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求||||OB OA .23．[选修4-5；不等式选讲]已知函数()3f x k x =--，k ∈R ，且()30f x +≥的解集为[]1,1-. （1）求k 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且111123ka kb kc++=，求证：239a b c ++≥.高三上学期期末联考数学（文）参考答案一、选择题二、填空题 13.95 14. 113215. (4) (5) 16. 9π 三、解答题17．（1）由()()11111126a S a a ==++，结合111a S =>，因此12a = 由()()()()111111121266n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++ 得()()1130n n n n a a a a +++--=， 又0n a >，得13n n a a +-=从而{}n a 是首项为2公差为3的等差数列， 故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）24221321()(222)nn n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+12(264)4(14)4432143n n n n n n ++---=+=+--18．解 (1)由题知:对移动支付不关注的男生有4人,总数50人,所以42=5025p =. (2)依题意，分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人,男生应抽取4人,记为,,,A B C D ， 女生应抽取2人,记为,a b ；从这6人中随机抽取2人，所有的情况为：()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A a A b B C B D B a B b C D C a C b D a D b a b 共15种,其中“至少有一人是女生”的情况有9中,记事件A, 所以“2人中至少有1人是女生的概率” ()93155P A ==.(3)由题意可知2250(2410124) 5.937 5.024********K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,故有97.5%的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系.19．解 (1)证明PA ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AB AD PA AB A ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB .(2)连接EF ,BE ,在Rt ADC 中,可得2AC =,则在Rt PAC △中,可得2AE =,在直角梯形中,由已知可求得2BC =.2AC AB ==,2AE AF ∴==.,E F 分别是,PC PB 的中点,112EF BC ∴==, 在等腰AEF 中,可求7121AEF ABF PABS S S ∆===C 到平面PAB 3E ∴到平面PAB 3设点B 到平面AEF 的距离为hE AFB B AEF V V --= 13133ABF AEF S S h ∆∆∴=⋅, 221h ∴=20．（1）解：∵()0,A b ，()0,B b -， ∴333224MA MB b b k k -+⋅=⋅=-，解得212b =， 将212b =，()2,3M 都代入椭圆方程，得216a =，∴椭圆方程为2211612x y +=；（2）证明：设()11,S x y ，()22,T x y ，直线ST 的方程为y kx t =+. 将y kx t =+代入椭圆方程，整理得()2223484480kxktx t +++-=，122843kt x x k +=-+，212244843t x x k -=+，由1212244y y x x +=++，得1212244kx t kx tx x +++=++. 整理，得()()()121222488320k x x k t x x t -++-++-=，即()()2224488224883204343t kt k k t t k k -⎛⎫-⋅++-⋅-+-= ⎪++⎝⎭. 化简，得()228316120t k t k k -+++=，即()()4430t k t k ---=.当4t k =时，直线ST 的方程为()44y kx k k x =+=+，恒过左顶点，不合题意 当43t k =+时，直线ST 的方程为()4343y kx k k x =++=++，恒过点()4,3-.∴直线ST 过定点()4,3-.21．解（1）当0a =时，221121-2()2ln ()=-=(0)xf x x f x x x x x x=--⇒>、 由21-2()=0x f x x 、>,解得12x <，可知()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. ∴()f x 的极大值为1()2ln 222f =-，无极小值.2221112(2)1(2)()2(2)ln ()=2(2)ax a x f x ax a x f x a a x x x x-++=--+⇒+-+=、①当02a <<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数； ②当2a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数； ③当2a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 （3）当23a <<时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是增函数， ∴122()()(3)(1)4(2)ln 33f x f x f f a a -≤-=-++. 由12(ln3)2ln3()()m a f x f x -->-对任意的a ∈（2, 3），x 1, x 2∈[1, 3]恒成立， ∴12max (ln3)2ln3()()m a f x f x -->-即2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m a a a -->-++对任意23a <<恒成立， 即243m a>+对任意23a <<恒成立， 由于当23a <<时，382134933a <+<，∴133m ≥. 22．（1）直线l 的参数方程为43x ty t=-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），转换为直角坐标方程为：340x y +-=∴直线l 3cos sin 40ρθρθ+-=∵曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩ （ϕ为参数），转换为直角坐标方程为()2211x y +-=，整理得：222x y y +=∴曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρθ= （2）曲线2C ：(0)3πθρ=>分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，所以sin 3cos 43ρθρθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3A ρ=． 同理2sin 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3B ρ= 所以 ||33||43A BOB OA ρρ===. 23．解：（1）因为()3f x k x =--， 所以()30f x +≥等价于x k ≤，由x k ≤有解，得0k ≥，且x k ≤解集为[],k k -. 因为()30f x +≥的解集为[]1,1-. 因此1k =.（2）证明：将（1）中所得1k =带入可知知：111123a b c++=， 因为a ，b ，c 为正实数，方法一：所以由柯西不等式得：()21112323923a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立..方法二：()1112332232339232323b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立..单选填空详解1．C解：{}240(2,2)A xx =-<=-∣， {lg 0}(0,1)B x x =<=∣，故(0,1)AB =，故选：C. 2．D若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠，则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：D. 3．C 由题意35422a a a +==，1581560S a ==，84a =，所以204844()24(42)10a a a a =+-=+⨯-=，故选C ．4．A因为(0,2)=b ,所以2022b =+=，又因为1a =，1a b ⋅=，11cos ,122a b a b a b ⋅===⨯，因为0cos ,a b π≤≤，所以向量a 与b 的夹角的大小为3π.故选：A5．A由()1f x >，知121x x e -<⎧⎨>⎩或()32log 11x x ≥⎧⎨-->⎩∴210x x <⎧⎨->⎩或21013x x ≥⎧⎪⎨<-<⎪⎩，解得12x <<或x ∈∅∴12x <<故选:A6．C画出可行域，向上平移基准直线30x y -=,可得最优解为()3,4A ，由此求得目标函数的最小值为3349z =-⨯=-，故选:C ．7．B22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭ =21712sin ()123168πα--=-⨯=.故选：B8．C由题意可知图形如图：ABC 是面积为的等边三角形，可得239344AB =，∴3AB BC AC ===，可得：123333AO =⨯⨯=，球O 的体积3432ππ33V R ==，解得2R =，所以O 到平面ABC 的距离为：431-=.故选：C.9．A由三视图可知三棱锥为如图所示，在△ABC 中,AB BC ⊥,2ABC S =在△ABD 中,AB BD ⊥,1ABD S =；在△ACD 中,AD CD ⊥,52ACD S =；在△BCD 中,BD CD ⊥,12BCD S =；故表面积为322+. 10．B 设抛物线C 的焦点为F ，则(0,3)F ，因为直线:3l y =-为抛物线的准线，所以||||PA PF =，所以||||PA PN +||||PF PN =+||FN ≥||1FM ≥-14==，当且仅当N 为线段FM 与圆M 的交点时，等号成立.故选：B.11. B(2)f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线2x =对称,∴()(4)f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，()00f =，∴()(4)f x f x +=-，∴()()()(8)4f x f x f x f x +=-+=--=，即()f x 是周期为8的周期函数，()1f a =，∴()1f a -=-，()()()3141f f f a =-+==，∴()()()533f f f a =-=-=-，()()71f f a =-=-，()()()()13570f f f f a a a a +++=+--=，∴()()()()()()1352019252020172019f f f f f f ++++=⨯++()()132f f a a a =+=+=,故选B12．A解：由题意知：双曲线的右焦点(),0F c ，渐近线方程为by x a =±，即0bx ay ±=，如下图所示:由点到直线距离公式可知：22bc FA b b a ==+， 又222c a b =+，OA a ∴=， 12AF BF =，即2BF b =，设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=，而tan ba α=，3tan 2AB bOA a α==，由正切二倍角公式可知：222222tan 2tan 21ta 1n bb abaa b a ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯===--，即2232baba ab =-， 化简可得：223a b ，即2213b a =， 由双曲线离心率公式可知：22123113c b e a a ==++故选：A.13．95输入1S =，1n =， 第一次循环：2131112S ，112n =+=； 第二次循环：23152223S ，213n =+=； 第三次循环：25173334S ，314n =+=； 第四次循环：27194445S ，415n =+=， 此时4n >，输出95S =， 故答案为：95. 14．由题意可得，sin 1sin 2B C =，由正弦定理得12b c =，c=2b ， 又222c b ab -=，则32a b = 由余弦定理可得：22222294114cos 22432b b b bc a A bc b b +-+-===⨯ 故答案为1132 15．（4）（5）①错，举反例：0,0,0,0,0,0,7；其平均数3x ≤，但不符合上述指标；②错，举反例：7,7,7,7,7,7,7；其标准差02S =≤，但不符合上述指标；③错，举反例：0,3,3,3,3,3,6；其平均数3x ≤且标准差2S ≤，但不符合上述指标； ④对，若极差小于2，符合上述指标；若极差小于或等于2，有可能⑴0,1,2；⑵1,2,3；⑶2,3,4；⑷3,4,5；⑸4,5,6，在平均数3x ≤的条件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指标；⑤对，在众数等于1且极差小于或等于1，则最大数不超过5，符合指标，所以选⑷⑸.16．解：如下图所示，设BD 的中点为E ，，连结,AE EC ，因为AB AD =，所以AE BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD ，又因为BCD ∆是等腰直角三角形，所E 为BCD∆的外心，BD CE==O 一定在直线AE 上，2AE CE ==<，所以球心O 在线段AE 的延长线上，设OE x =，则三棱锥外接球半径22R x AE x BE =+=+，即()22222x x +=+，解得1x =，所以3R =，所以三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积29S R ππ==.。