C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
0
B
1 3
1
3 2 1 2
4 1 1
1
求 AB
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1 C AB 1
0
0 1 5
cos(k 1) sin(k 1) sin(k 1) cos(k 1)
从而对任意的正整数 n，要证的等式成立。 综上,命题得证。
五．矩阵的转置
定义4 把矩阵 A (ai j )mn 的行和列互换，所得
到的 n m 矩阵，称为矩阵 A 的转置矩阵。简
称 A 的转置（Transposed matrix），记作 A 或 AT。
j 列位置上的元素是:
s
c ji a jk bki
又
k 1
s
dij bkia jk
k 1
从而 (AB) BA 。
例7 设
A 01
1 3
02
求 ( AB)。
2 B 1
1
解 或者
因为 AB 11 ，所以 ( AB) (1
1)
( AB) BA 2
1
1
1 1
0 3
1
1
0 2
AB
2 3 1 1 1 5
所以 AB = 2 1 =9 。另一种算法：
15
1 AB
02
1 = (3) (3)=9
2 3 1 1
从而确有 | AB |=| A || B | 。
(AB)2 (AB)(AB) A BA B A2 B2
四.方阵的幂
设A为 n 阶方阵，k N 。 记 Ak AAA. ，
s
aik bk1
k 1
s
aik bkj
k 1
s
aik
k 1
bkn
.....................................................................
s
amkbk1
s
amkbkj
s
amkbkn
k 1
k 1
k 1
例1
b1 j
b2 j
* *
ai1
*
ai 2
*
ais
*
*
bsn
*
ms
*
sn
*
*
cij
*
m n
*
例3 设
2 1
A 3 1
0
,
132
B
1 1
2 1
1 123
求 AB, BA
解
3 3 1
AB 3 0
6 3
1 2 33
,
BA
9 2
mn
其中
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
= aikbkj
k 1
即
a11 a12 ... a1s
...............................
...a..i.1......a..i..2...............a...is
b11 b21
AB BA
即A, B是可交换的。
0 2 22
由此可见，矩阵乘法不满足交换率，即AB≠BA，
此时称 A和B不可交换。
对有些矩阵，如:
2 0
1 0
有
A 0
4,
B
0
2
AB
BA
2 0
0 2
此时称 A,B 可交换。
例4 设
A
1 1
求AB，BA。
1
1
122 , B 1
1
1
22
解 同理
AB
1 1
1 1 11
1 1
0 0
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
性质1 设A，B、C是同规模的矩阵，则
（1）A+B=B+A ;
（加法交换律）
（2）（A+B）+C=A+（B+C）; （加法结合律） （3）A+0 =A ， 其中0是与同规模的零矩阵。
二、数乘矩阵
定义2
数
k与矩阵
A
aij
的数量乘积矩
mn
阵,简称为数乘矩阵，记为 kA，规定为:
常记
ka11
kA
ka21
kam1
ka12 ka22
kam 2
ka1n ka2n
kamn
(-1)A=-A , -(-A)=A -A 又叫做 A 的负矩阵。
两个矩阵的减法运算可直接定义或者规定为: A-B = A+(-B)
性质2 设A, B是同规模的矩阵，k, L是常数, 则（1）1A=A；
am1
am2
...
ams
bs1
b1j b2j
bb12nn
bsj
bsn
s
s
s
a1kbk1 a1kbkj a1kbkn
k 1
k 1
k 1
.....................................................................
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
a11
A'
a12
a21 a22
am1 am2
am1
am2
amn
mn
a1n a2n amn nm
矩阵转置的性质: (1) ( AT )T A (3) (kA)T kAT
(2) ( A B)T AT BT (4) ( AB)T BT AT
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
? 5 6 7
10 2 6. 2 17 10
注意：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数时，两个矩阵才能相乘。 例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
一般地
*
*
*
* *
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算性质 不同。
五. 思考题
概念性题
设A与B为n阶方阵,问等式
( A B)2 A2 2AB B2
成立的充要条件是什么?
思考题解答：
由矩阵乘法对加减法的分配律，有
(A B)2 (A B) (A B)
A2 AB BA B2
故等式成立的充要条件为
第二节 矩阵的运算
下面讨论矩阵的加法,数乘与乘法运算以及其
它矩阵运算。
一、矩阵的加法
定义 1
设
A
aij
与B
mn
aij
是两个同规模的
mn
矩阵,那么矩阵A与B的和矩阵,记为A+B，规定为:
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
满足以下规律：
例如：
Amn 和 Em , En AEn Em A A;
a111 a122
a11
a21
a12
a22
? a1n
a2n
a11 a21
a12
a22
a1n a2n
am1mm am1 am2 amn am1 am2 amn
问题：单位矩阵换为对角矩阵， Al Akl
( Ak )l Akl
| Am || A |m
kA k n A
但是应注意:
?
(1) ( AB)k Ak Bk
(2) A≠0 ，但可能 Ak 0
例如,设 则
0 1 0
A 0 0 1 0 0 0
0 1 00 1 0 0 0 1
A2 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
这里要注意矩阵的左乘和右乘，以及矩阵左提
取或右提取（公因子）意义的不同。
4、设A、B是两个 n 阶矩阵，则
|AB| = |A||B|
√
即方阵乘积的行列式，等于它们行列式的乘积。
例5 设 A 1 0
求|AB|。 2 3
B 2 1 1 1
解 AB 1 0 2 1 2 1
矩阵乘法不同于数的乘法，它不满足交换律和 消去律，应引起足够的注意。 但是，矩阵乘法恰
满足以下规律： 此外
1、矩阵乘法的结合律：
(AB)C = A(BC)
√
2、数乘与矩阵乘法的结合律：
(kA)B = A(kB) = k(AB)
3、矩阵乘法对加法的(左、右)分配律：
A(B+C) = AB+AC
√
(B+C)A = BA+CA
由性质（4）可得多个矩阵相乘的转置
( A1A2 As )T AsT AsT1 A2T A1T
(5) A 为对称矩阵的充要条件是: A A A 为反对称矩阵的充要条件是： A A
证 仅证明（4）式。
设A
aij
是
ms
m
s
矩阵,
B
bij
是
sn
sn
矩阵, AB cij , mn BA dij nm , 则 ( AB) 的第 i行第