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02第二章 机电系统的数学模型
列出以F为输入,以质量的位移y为输出的运动方程式(不
计重力)。 解:根据牛顿第二定律可得
k
则系统的方程为:
Fi
m
y
上式经整理,可得系统的微分方程为:
f
2.1 微分方程的建立
例2. 2 机械转动系统
已知机械转动系统如图2.2所示,系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组
成。系统的输入以外力矩M,系统的输出为角速度ω。试列出系统运动
L[eat f (t)] F(s a)
4. 延迟定理
L[ f (t )] es F(s)
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.3 拉氏变换基本定理
5. 微分定理
L[ df (t) ] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t) ] s2F(s) sf (0) f (0) dt2
2.1 微分方程的建立
例2.4 如果设
则可得到一阶线性微分方程为:
若以电动机转角为输出,即
则上式可改写为:
如果电机轴上的转动惯量Ja和电枢电阻Ra忽略不计,则方程变为: 此时电枢电压ua与电机的转速成正比,这就是测速发电机的原理。
2.1 微分方程的建立
例2.4 令:
则天线方位角伺服系统的运动微分方程式:
2.1 微分方程的建立
例2.4 1. 电网络平衡方程
其中
2. 机械平衡方程
3. 系统方程
2.1 微分方程的建立
例2.4
输入为电枢电压ua,输出为天线旋转角速度的二阶微分方程为:
工程简化:电动机电枢电感La通常比较小,因此可以忽略La; 在
工程实践中, Mc f 和 M d 可作为干扰信号来处理
R
L
解: 根据基尔霍夫定律写出 电路方程
ui
i
C
uo
其中
亦即
消去中间变量 i得输入-输出的运动方程式
2.1 微分方程的建立
机电系统的相似性
例2.1
例2.3
不同的系统,其数学模 型均为二阶微分方程,即 相似的数学模型。亦即是
R
说各物理系统的特性参数 间也存在着一定的运动相 ui 似性。
k Fi
m y
f
L
i
C
uo
2.1 微分方程的建立
机电系统的相似性
机电系统方程
2.1 微分方程的建立
例2.4天线方位角伺服系统如图2. 4所示,试列出以电枢电压ua为 输入信号,跟踪卫星的天线的方位角θ为输出信号的运动方程式。
R
L
a
a
u
i
a
a
e
m
J
a
M
a
?
M
d
i
f
图2. 4天线方位角伺服系统
2.1 微分方程的建立
或:
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.1 拉普拉斯变换的定义
如果一个以时间 t为自变量的函数f(t),它的 定义域是t 0,那么,拉普拉斯变换为
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
式中s j 为复数, 是实数;是角频率(rad/s)。
L 为运算符号,称为拉普拉斯变换算子;
F(s) 为函数 f (t) 的拉普拉斯变换。
常用的拉氏变换可以参见表2.2。
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.3 拉氏变换基本定理
1. 常数定理 L[Af (t)] AF(s)
2. 线性定理
L[a f1(t) b f2 (t)] a F1(s) b F2 (s)
3. 衰减定理
方程式。
M
f
解: 牛顿第二定律可以表示为 :
M
J
式中J 为惯性负载的转动惯量,ω为角速度,M 为外加到系统的转动
力矩。代入元件方程,可得 或
若系统的输出为转角θ, 据ω = dθ/ dt
2.1 微分方程的建立
例2.3 电气系统
设有一个以电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C电路如图所示。试列写
以ui为输入,uo为输出的微分方程式。
2.1 微分方程的建立
2.典型元件
2.1 微分方程的建立
典型元件
2.1 微分方程的建立
典型元件
2.1 微分方程的建立
网络方程——元件连接原则
电气系统 : 基尔霍夫电压定理 基尔霍夫电流定理 机械系统: 空间连续律 达朗贝尔静力平衡原理
2.1 微分方程的建立
例2. 1 机械平移系统 设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图所示,
L[ d n f (t) ] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0) dn
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.3 拉氏变换基本定理
6. 积分定理
L[ f (t)dt] F(s) f 1(0)
s
s
7. 初值定理 8. 终值定理
lim f (t) f (0 ) lim sF (s)
例2.4
R
a
L
a
J
u
i
a
a
e
a
M
a
m
ifBiblioteka ? Md解 : 符号定义: ua——电动机的电枢电压(V) em——电动机的反电势(V) Ia ——电动机的电枢电流(A) Ra——电枢绕组的电阻(Ω) La——电枢绕组的电感(H) ω ——电动机轴的转速(rad/s)
ke——反电动势系数V/rad/s) Ja ——电动机转子的转动惯量(kg·m2) b——阻尼系数(N·m/rad/s) Ma——电动机的电磁转矩(N·m) Md——风力产生的阻力矩(N·m) kc——电机转矩系数(N·m/A)
根据支配系统动态特性的定律,从输入端开始,按照信号 的传递顺序,列出各个元件描述输出信号和输入信号相互 关系的动态方程式,一般为微分方程组;
消去中间变量,最后得到只包含系统输入量和输出量的微 分方程式,即系统的数学模型;
将方程式化为标准形式,即将与输入有关的各项放在等号 右边,与输出有关的各项放在等号的左边,并且各导数项 要按降幂排列,最后将系数归化为反映系统动态特性的参 数,如时间常数等。
t 0
s
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
9. 卷积定理
t
L[ f1(t) f 2 (t)] L[ f1(t ) f 2 ( )d ] F1(s) F2 (s) 0
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
第二章
机电系统的数学模型
主
要
2.1 微分方程的建立
内
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换
容
求解方法
2.3 传递函数与方框图
2.4 状态空间模型
2.1 微分方程的建立
1.建立系统微分方程式的一般步骤
分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系,将系统划 分为若干个环节(或元件),确定每一环节的输入信号和 输出信号。