一致性(相合性)
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计 量的值越来越接近被估计的总体参数
P( ˆ)
较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
5 - 21
ˆ
统计4学.2 一个总体参数的区间估计
STATISTICS
一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计
5 - 22
【 例 1】 某 大 学 从 该校学生中随机抽 取 100 人 ， 调 查 到 他们平均每天参加 体育锻炼的时间为 26分钟。试以95％ 的置信水平估计该 大学全体学生平均 每天参加体育锻炼 的时间（已知总体 方差为36分钟）。
5 - 28
解：已知 x＝26, =6，n=100,
1- = 0.95，Ｚ/2=1.96
5 -3
统计学 参数估计在统计方法中的地位
STATISTICS
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计 假设检验
5 -4
统计学
STATISTICS
统计推断的过程
总体
样本统计量
样
本
如：样本均值
、比率、方差
5 -5
统计学4.1 参数估计的一般问题
STATISTICS
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
0.95，Ｚ/2=1.96. 总体均值的置信区间为
x Z 2 n , x Z 2 n
21.4
1.96
0.15 9
,21.4
1.96
0.15 9
21.302,21.498
我们可以95％的概率保证该种零件的平均长度在
52-12.7302～21.498 mm之间
统计学 总体均值的区间估计
STATISTICS （非正态总体：举例）
相应的 为0.01，0.05，0.10
5 - 14
统计学
置信区间
STATISTICS (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
5 -7
统计学
STATISTICS
参数估计的方法
估计方法
点估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
5 -8
区间估计
统计学 被估计的总体参数
STATISTICS
总体参数
一个总体 两个总体
均值
比例 方差 均值之差 比例之差 方差比
5 -9
符号表示
x Z 2 n , x Z 2 n
26 1.96
6 ,26 1.96 100
6 100
24.824,27.176
我们可以95％的概率保证平均 每天参加锻炼的时间在24.824 ～27.176 分钟之间
【 例 2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主， 为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行 抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生 产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如 下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且 总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信 区间，置信水平为95%
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
s
7.77
x z 2
39.5 1.645 n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
5 - 32
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计 （方差未知、小样本）
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 未知
5 -6
统计学
估计量与估计值
STATISTICS (estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
如样本均值，样本比率、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估
计量
2. 参数用 表示，估计量用ˆ 表示
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值
z x ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2 n
或 x z 2
s ( 未知)
n
5 - 24
统计学正态总体的抽样分布定理
STATISTICS
证明:
5 - 25
是n 个独立的正态 随机变量的线性组 合,故服从正态分布
统计学 总体均值的区间估计
STATISTICS （正态总体：举例）
x t 2
s 1490 2.131 24.77
n
16
1490 13.2
1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为
1476.8小时～1503.2小时
5 - 37
统计学 总体比率的区间估计
STATISTICS
1. 假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似
２.使用正态分布统计量 z z p ~ N (0,1) (1 )
我们只能是希望这个区间是大量包含总体
参数真值的区间中的一个，但它也可能是 少数几个不包含参数真值的区间中的一个
5 - 15
统计学 置信区间与置信水平
STATISTICS
样本均值的抽样分布
x
/2
1–
/2
x
x
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
5 - 16
统计学 影响区间宽度的因素
1530
1510
1460
1460
1470
1470
5 - 36
统计学 总体均值的区间估计
STATISTICS
(例题分析)
解 ： 已 知 Ｘ ~N( ， 2) ， n=16, 1- = 95% ，
t/2=2.131
根据样本数据计算得： x 1490 s 24.77
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
STATISTICS
1.总体数据的离散程度，用 来测度
2.样本容量
3.置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
x
n
5 - 17
统计学 评价估计量的标准
STATISTICS
评价点估计的标准
无偏性
有效性
一致性 均方误差准则
5 - 18
统计学
STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息 3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、
最大似然法、最小二乘法等
5 - 10
统计学
STATISTICS
区间估计
(interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区 间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得 到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与 总体参数的接近程度给出一个概率度量
统计学
STATISTICS
第四章 参数估计
5 -1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题 4.2 一个总体参数的区间估计 4.3 样本容量的确定
5 -2
统计学
STATISTICS
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 样本容量的确定方法
n
3. 总体比率在1-置信水平下的置信区间为
p z 2
(1 )
无偏性：估计量抽样分布的数学期望 等于被估计的总体参数
P(ˆ)
无偏
有偏
A
B
5 - 19
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点 估计量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ) ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布
5 - 20
ˆ
统计学
STATISTICS
的95%的置
信区间。
5 - 35
解：已知Ｘ~N(，2)，x=50, s=8，
n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。
x
t
2
sn1 n
,x
t
2
sn1 n
50 2.0639
8 ,50 2.0639 25
8 25
46.69,53.3
我们可以95％的概率保证总体均 值在46.69～53.30 之间
5 - 12
统计学
STATISTICS
置信区间估计
（内容）
置信区间
均值
比例
2 已知
5 - 13
2 未知
方差
统计学
STATISTICS
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次， 置信区间包含总体参数真值的次数所 占的比率称为置信水平
2. 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比率
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
STATISTICS
(例题分析)
解 ： 已 知 Ｘ ~N( ， 102) ， n=25, 1- = 95% ，
z/2=1.96。根据样本数据计算得：
x 105.36
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
10
x z 2
105.36 1.96 n