习 题 四1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解 (,)X Y 的分布列为其中 (1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X =======(1,2)(1)(2|P X Y P X P Y X ======121436=⨯= 余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。

解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为其中 (0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X =======，13313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，余者类推。

3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)80,.x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。

求{(,)}P X Y D ∈ 解 （1）13021{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰1194368228-⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦； 2）13021{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰ 11200113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫=-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰524=.4．设(,)X Y 的概率密度为222(,(,)0,.C R x y R f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()x y r r R +≤<内的概率.解 （1）22223201(R x y R CR dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰⎰333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦，∴ 33C R π=.（2）设222{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为 22233{(,)}(x y r P X Y D R dxdy R π+≤∈=⎰⎰322323232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 4,01,01(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求X 和Y 的联合分布函数.解1 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪⎪>≤≤⎪⎪>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或解2 由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 2,01,()0,.Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则20,0,()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。

解(,)X Y 的概率密度为1,(,),(,)0,.x y D f x y ∈⎧⎨⎩其他关于X 和Y 的密度为 0,01()(,),01,x X x x x f x f x y dy dy x +∞-∞-⎧≤≥⎪==⎨<<⎪⎩⎰⎰或 2,01,0,.x x <<⎧=⎨⎩其他110,1,,10,()(,),01,0, 1.yY y y d x y f y f x y d x d x y y +∞--∞≤-⎧⎪⎪-<≤⎪==⎨⎪<<⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰1,10,1,01,0,.y y y y +-<≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其他 1||,||1,0,.y y -<⎧=⎨⎩其他7．设(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,.y e x y f x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他求边缘密度和概率(1)P X Y +≤解 0,0,0,0,()(,),0.,0;X xy xx x f x f x y d y e x e dy x +∞+∞---∞≤⎧≤⎧⎪===⎨⎨>>⎩⎪⎩⎰⎰0,0,0,0,()(,),0.,0;y Y y yy y f y f x y d x y e y e d x y +∞---∞⎧≤⎧≤⎪⎪===⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩⎰⎰111122001(1)(,)()x y x x x x y P X Y f x y dxdy e dy dx e e e dx ----+≤⎛⎫+≤===- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 11212ee --=-+.8．一电子仪器由两个部件组成，以X 和Y 分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y 的联合分布函数为：0.50.50.5()1,0,0(,)0,.x y x y e e e x y F x y ---+⎧--+≥≥⎪=⎨⎪⎩其他（1）问,X Y 是否独立？为什么？（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 （1）先求边缘分布函数：0.51,0,()lim (,)0,0.x X y e x F x F x y x -→+∞⎧-≥==⎨<⎩0.51,0,()lim (,)0,0.y Y x e y F y F x y y -→+∞⎧-≥==⎨<⎩因为(,)()()X Y F x y F x F y =⋅，所以,X Y 独立.（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)[1(0.1)][1(0.1)]P X Y P X P Y P X P Y ≥≥=≥≥=-≤-≤ 0.050.050.1e e e ---=⋅=. 9．设(,)X Y 的概率密度为(),0,0,(,)0,.x y ex Y f x y -+⎧≥≥⎪=⎨⎪⎩其他间,X Y 是否独立？解 边缘密度为00,0,0,0,()(,),0.,0;X x x y x x f x f x y dy e x e e dy x +∞+∞----∞<⎧<⎧⎪===⎨⎨≥>⎩⎪⎩⎰⎰ 0,0,(),0.Y y y f y e y -<⎧=⎨>⎩因为 (,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以,X Y 独立. 10．设(,)X Y 的概率密度为8,01,(,)0,.xy x y f x y ≤<<⎧=⎨⎩其他问,X Y 是否独立. 解 边缘密度210,01,4(1),01,()(,)0,8,0 1.X x x x x x x f x f x y dy xydy x +∞-∞⎧<>⎧-≤≤⎪⎪===⎨⎨≤≤⎪⎩⎪⎩⎰⎰或其他;304,01,8,01,()(,)0,0,y Y y y xydx y f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他;其他;因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以,X Y 不独立。

11．设(,)X Y 的概率密度为1,||1,||1,(,)40,.xyx Y f x y +⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他试证明X 与Y 不独立，但2X 与2Y 是相互独立的。

证 先求,X Y 的联合分布函数(,)F x y111111110,11,1,||1,||1,41(,),||1,1,41,1,||1,41,1,1;x yx y x y uv dudv x y uvF x y dudv x y uvdudv x y x y ------⎧≤-≤-⎪+⎪<<⎪⎪+⎪=<>⎨⎪+⎪><⎪⎪≥≥⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或220,1111(1)(1)(1)(1),||1,4161(1),1,||121(1),||1,1,21,1, 1.x y x y x y x y x y x x y x y ⎧≤-≤-⎪⎪+++++<⎪⎪⎪=+>≤⎨⎪⎪+≤>⎪⎪>>⎪⎩或关于X 的边缘分布函数为0,1,1()lim (,)(1),11,21,1.X y x F x F x y x x x →+∞⎧<-⎪⎪==+-≤≤⎨⎪⎪>⎩关于Y 的边缘分布函数为0,1,1()(1),11,21, 1.Y y F y y y y <-⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩因为(,)()()X Y F X Y F x F y ≠⋅，所以,X Y 不独立.再证2X 与2Y 独立：设22,X Y 的联合分布函数为1(,)F z t ，则0,0221(,)(,){z t F z t P X z Y t P x Y >>=≤≤====<≤<≤((F F F F =--+0,00,01,01,,1,01,01,1,1,1, 1.z t z t z t z t z t ⎧≤≤<<<<=≥<<<<≥⎪≥≥⎪⎩或关于22()X Y 的边缘分布函数分别为210,0,()lim (,)01,1, 1.X t z F z F z t z z →+∞⎧≤==<<≥⎪⎩20,0,()01,1, 1.Y t F t t t ⎧≤=<<≥⎪⎩因为221(,)()()X Y F z t F z F t =⋅，所以2X 与2Y 独立.证2 利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页） 设 22,Z X T Y ==.函数2z x =的反函数为212x x t y ===的反函数为12y y =111111,,x x z t J y y z t∂∂∂∂===∂∂∂∂22111221,J J J J ===；于是22(,)X Y 的概率密度函数为 22111(,)(,)||ijiji j f z t f x y J===∑∑1[1111]01,01,40,.z t ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他01,01,0,z t <<<<=⎩其它.关于2X 的边缘密度为2101,()(,)0,.X z f z f z t dt +∞-∞<<==⎩⎰其它 关于2Y的边缘密度为201,()0,.Y t f t <<=⎩其他因为221(,)()()X Y f z t f z f t =⋅，所以22,X Y 独立.12．设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处.解 设(,)1,2,1,2,3.i j ij P X x Y y p i j =====由联合分布和边缘分布的关系知 11124p = 由独立性 11111311()68p p p =⨯++，即 131114248p =++，故13112p =， 11111248124p ⋅=++=，234p ⋅=222213()84p p =+⨯， 所以 2238p =，212p ⋅=31111623p ⋅=--= 231113124p =-=所以(,)X Y 的分布为13．已知随机变量1X 和2X 的概率分布为1101~111424X -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 201~1122X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦而且 12(0)1P X X ==（1）求1X 和2X 的联合分布； （2）问1X 和2X 是否独立？为什么？解 （1）12(0)1P X X ==知1212(1,1)(1,1)0P X X P X X =-=====，再由联合分布和边缘分布的关系知12(,)X X 的分布为（2）因1212111(1,0)(1)(0)442P X X P X P X =-==≠⨯==-=，所以,X Y 不独立.14．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从(,)b b -上的均匀分布，求方程20t tX Y ++=有实根的概率.解 设A =‘方程有实根’，则A 发生240X Y ⇔-≥即224()(4)(,)x yP A P X Y f x y dxdy ≥=≥=⎰⎰2242211()444x bb bb b x dxdy b dx b b ---==+⎰⎰⎰ 32211[2]46242b b b b =+=+， 4b ≤.2221(4)1()4x P X Y b dx b -≥=--⎰33222111[4(88)]412b b b =-+1=-15．已知随机变量X 和Y 的联合分布为(,)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(,)0.100.150.250.200.150.15x y P X x Y y ==试求：（1）X 的概率分布；（2）X Y +的概率分布 解 （1）X 的分布为0120.250.450.30XP（2）X Y +的分布为01230.100.40.350.15X YP+16．设X 与Y 为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为()P X n =1()()2n P Y n ===，1,2,n = ，求X Y +的分布列. 解 设Z X Y =+，Z 的分布为11()()()()k i P Z k P X Y k P X i P Y k i -===+====-∑1111()()22k i k ii --==∑1(1)()2,3,2k k k =-=17．设,X Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为,n p 的二项分布，证明Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布. 证 0()()()()ki P Z k P X Y k P X i P Y k i===+====-∑0(1)(1)kii n i k i k in k i n n i Cp p C p p ----+==-⋅-∑2220(1)(1)kkn kik i k k n kn n n i p p C CC p p ---==-=-∑ 0,1,,2k n = 故Z X Y =+服从参数为2,n p 的二项分布. 注：此处用到一个组合公式：kik i k mn m n i C CC -+==∑此公式的正确性可直观地说明如下：从m n +个不同的元素中取k 个共有km n C +种不同的取法。