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基础自测
1．已知函数 f (x)＝13－8x＋ 2x2，且 f ' (x )＝ 0 4，则 x 的值为__3__2____. 0
解析 f ' (x)＝－8＋2 2x，
f ' (x )＝－8＋2 2 x ＝4，∴ x ＝3 2.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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2．曲线 y ＝2 x 2 在点(－1,2)处的切线方程为
第十三章 导 数
§13.1 导数的概念及其运算
基础知识 自主学习
1．导数的概念及意义
（1）导数的定义：设函数 y=f(x)在 x=x0 处附近有定
义，当自变量在 x=x0 处有增量Δx 时，则函数 y=f(x)
相应地有增量Δy= f(x0+Δx)-f(x.0如) 果Δx→0
时，Δy 与Δx 的比ΔΔxy(也叫函数的平均变化率)有
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2．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点， 切线斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
解 y＝2x(x2－4)＝2x3－8x. 则 Δy＝[2(x＋Δx)3－8(x＋Δx)]－(2x3－8x) ＝(6x2－8)Δx＋6x(Δx)2＋2(Δx)3
∴ΔΔyx＝(6x2－8)＋6x·Δx＋2(Δx)2 y lim[(6x2－8)＋6x·Δx＋2(Δx)2]＝6x2－8.
x0
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(3)导数的物理意义：函数 s＝s(t)在点 t0 处的导数
s′(t0)，就是物体的运动方程为 s＝s(t)在时刻 t0 时的 瞬时 速度 v.即 v＝s′(t0)．
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2．导函数
如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点处都有导数，
此时对于每一个 x∈(a,b) ,都对应着一个确定的导数
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5．若函数 f (x)＝a x 4＋b x 2＋c 满足 f ′(1)＝2 则
f ′(－1)等于
(B)
A．－1
B．－2
C．2 D．0
解析 由题意知 f ′( x)＝4a x 3＋2b x ，
∴ f ′( x)为奇函数．若 f ′(1)＝2，即 f ′(1)
＝4a＋2b＝2，∴ f ′(－1)＝－ f ′(1)
极限(即ΔΔxy无限趋近于某个常数)，我们就把这个极
限y′值| x叫x0做,即函数f′y(＝x0)f(＝x)在lixmx0＝f (xx00
处的导数，记作
x) f (x0 )
x
.
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(2)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数
f′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的 斜率 .
__4_x_＋__y_＋__2_=_0_．
解析 ∵ y＝2 x 2，∴ y′＝4 x ， y ′|x＝－1＝－4. 故在点(－1,2)处的切线方程为 y－2＝ －4( x＋1)， 化简得 4 x ＋ y＋2＝0. 3．已知 f (x)＝ x 2＋3 x f ' (2)，则 f ' (2)＝___－__2___.
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探究提高 由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)的导数的
一般方法是：
(1)求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(2)求平均变化率ΔΔxy＝f(x＋ΔΔxx)－f(x)；
（3）取极限，得导数
y
lim
x0
Δy Δx.
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变式训练 1 过曲线 y＝f (x)＝x3 上两点 P(1,1)和 Q(1＋ Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1 时割线的 斜率，并求曲线在点 P 处切线的斜率．
f′(x),从而构成了一个新的函数 f′(x).称这个函数
f′(x)为函数 y=f(x)在开区间内的 导函数 ，简称导数,
也可记作 y′, 即 3．求导数的方法
f′(x) =y′= lim y lim f (x x) f (x) .
x0 x x0
x
（1）常用的导数公式 C′＝ 0 (C 为常数)； (xn)′＝ mxn－1 (n∈ N* )；
解析 由题意得 f ' ( x)＝2 x ＋3 f ' (2)， ∴ f ' (2)＝2×2＋3 f ' (2)，∴ f ' (2)＝－2.
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4．已知曲线 y＝18x2 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐
标为( C )
A．4
B．3
C．2
1 D.2
解析 y＝18x2，得 y′＝14x＝12，∴x＝2.
解 ∵Δ y＝f(1＋ x)－f(1)＝(1＋x)3－1＝3x＋3(x)2
＋( x )3，∴割线
PQ
的斜率为 y x
＝
3x
3x2 x
x3
＝3＋3x＋(x)2.∴当x＝0.1 时，割线 PQ 的斜率为 y ＝ x
3＋3×0.1＋(0.1)2＝3.31，曲线在点 P(1,1)处切线的斜率为
（2）导数的运算法则
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x); [c·f′(x)]′=cf′(x)(c 为常数)．
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[难点正本 疑点清源] 1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导
数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数； (2)函数 y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点 x 而 言的．如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内每一点 x 都可导， 是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一 个确定的导数 f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一 个新函数，就是函数 f(x)的导函数 f′(x)．在不产生混淆 的情况下，导函数也简称导数．
＝－4 a －2b＝－2
点评 注意到 f ( x)的导函数是一个奇函数．
f ′(－1)＝－ f ′(1)．
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题型分类 深度剖析
题型一 利用导数的定义求函数的导数 例 1 利用导数的定义求函数 y＝2x(x2－4)的导数．
思维启迪：紧扣定义ΔΔyx＝f(x＋ΔΔxx)－f(x)进行求解．