1.5集合的划分与覆盖
习题1.5
1.设},,,{d c b a A =，求出集合A 的所有不同的划分.
解 可以按照划分的块的数目依次求出A 的所有不同的划分共15个. 仅一个划分块:}},,,{{1d c b a =π.
有两个划分块: }},,{},{{2d c b a =π，}},,{},{{3d c a b =π，
}},,{},{{4d b a c =π，}},,{},{{5c b a d =π；
}},{},,{{6d c b a =π，}},{},,{{7d b c a =π，
}},{},,{{8c b d a =π. 有三个划分块: }},{},{},{{9d c b a =π，}},{},{},{{10d b c a =π，
}},{},{},{{11c b d a =π，}},{},{},{{12d a c b =π，
}},{},{},{{13c a d b =π，}},{},{},{{14b a d c =π.
有四个划分块: }}{},{},{},{{15d c b a =π.
2.对于整数集合Z ，令
}Z |3{1∈=k k A ，}Z |13{2∈+=k k A ，}Z |23{3∈+=k k A , 则},,{321A A A 是Z 的划分. 试验证之.
解 因为(1)≠i A ∅，3,2,1=i .
(2)=⋂j i A A ∅，3,2,1,,=≠j i j i .
(3)=⋃⋃321A A A Z.
所以，},,{321A A A 是Z 的划分.
3.设}|{I i A i ∈=π是集合A 的一种划分，对于集合B ，所有≠⋂B A i ∅的B A i ⋂组成的集合是B A ⋂的划分. 试证明之.
证 对于任意j i ≠，因为=⋂j i A A ∅，于是
=⋂⋂=⋂⋂⋂B A A B A B A j i j i )()(∅=⋂B ∅.
又因为A A
I i i =∈ ，所以
B A B A B A I
i i
I i i ⋂=⋂=⋂∈∈ )(. 故≠⋂⋂B A B A i i |{∅},I i ∈是B A ⋂的划分.
4.设集合A 有两种划分}|{1I i A i ∈=π和}|{2J j B j ∈=π，问21ππ⋃是否必是A 的划分，为什么？21ππ-呢?
解
21ππ⋃及21ππ-均不一定是A 的划分. 例如},,,{d c b a A =，
取A 的划分为 }},,{},{{1d c b a =π，}},{},{},{{2c b d a =π，
这时}},,{},,{},{},{{21d c b c b d a =⋃ππ，}},,{{21d c b =-ππ，它们都不是A 的划分.
5.证明: 设1≥n ，则
(1).1)1,(=n S
(2).1),(=n n S
(3).12)2,(1-=-n n S
证 (1)和(2)显然.
(3)将n 个元素的集合A 划分成2个块1A 和2A ，先将A 中的第一个放在第一个块1A 中，对于其余的1-n 个元素分别考虑是否与第一个元素在同一个块
1A 中，只有两种情况发生: 1A x ∈或1A x ∉，于是共有1122...22--=⋅⋅⋅n n 种放的
方式，但要排除所有元素都在1A 中而2A 为空的情形. 故.12
)2,(1-=-n n S 6.设},,,,,,,,,,{j i h g f e d c b a A =},,,,{1d c b a A = },,,{2g f e A = },,,,{3i g e d A =},,,{4j h d A =},,,{5j i h A =},,,,,,{6j h f c b a A =分别判定下列集合是否是A 的划分、覆盖: (1)},,{521A A A . (2)},,{531A A A . (3)}.,{63A A
(4)}.,,{432A A A
解 显然对于任意61≤≤i ，有≠i A ∅.
(1)因为=⋂21A A ∅，=⋂51A A ∅，=⋂52A A ∅且A A A A =⋃⋃521，所以},,{521A A A 是A 的划分.
(2)由于A f ∈而531A A A f ⋃⋃∉，所以},,{531A A A 不是A 的覆盖.
(3)因为=⋂63A A ∅，且A A A =⋃63，所以},{63A A 是A 的划分.
(4)由于A a ∈而432A A A a ⋃⋃∉，所以},,{432A A A 不是A 的覆盖.
7.写出集合},{b a A =的所有不同的覆盖.
解 由A 得到的非空子集为},{},{},{b a b a ，于是},{b a A =的所有不同的覆盖分别为
(1)}},{{b a .
(2)}}{},{{b a .
(3)}},{},{{b a a .
(4)}},{},{{b a b .
(5)}},{},{},{{b a b a .。