高二数学选修2-1期末考试卷
一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）
1、对抛物线2
4y x =，下列描述正确的是 A 、开口向上，焦点为(0,1) B 、开口向上，焦点为1(0,
)16
C 、开口向右，焦点为(1,0)
D 、开口向右，焦点为1(0,)16
2、已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的 A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
3、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11，
A =1，则下列向量中与
B 1相等的向量是
A 、++-2121
B 、 ++2121
C 、 +-2
121 D 、 +--2
121 4、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为
A 、25-
B 、25
C 、1-
D 、1
5、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为
A 、平面
B 、直线
C 、圆
D 、线段
6、已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,5
1给出下列等式： ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②⋅+)( =)(+⋅ ③2)(++=2
22++ ④⋅⋅)( =)(⋅⋅
其中正确的个数是
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
7、设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为 A 、椭圆 B 、双曲线 C 、抛物线 D 、圆
8、已知条件p ：1-x <2，条件q ：2x -5x -6<0，则p 是q 的
A 、充分必要条件
B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分又不必要条件
9、已知函数f(x)=3
472+++kx kx kx ，若R x ∈∀，则k 的取值范围是
A 、0≤k<43
B 、0<k<43
C 、k<0或k>43
D 、0<k ≤4
3
10、下列说法中错误．．
的个数为 ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③12x y >⎧⎨
>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；④a b =a b =是等价的；⑤“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件.
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
二、填空题（每小题6分，共6小题，满分36分）
11、已知+-=+82,3168-+-=-(,,两两互相垂直)，那么⋅= 。
12、以(1,1)-为中点的抛物线2
8y x =的弦所在直线方程为： ．
13、在△ABC 中，BC 边长为24，AC 、AB 边上的中线长之和等于39．若以BC 边中
点为原点，BC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为： ．
14、已知M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，-5），设在线段M 1M 2的一点M 满足21M M =24MM ，
则向量OM 的坐标为 。
15、下列命题
①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件.
② “am 2<bm 2”是“a <b ”的充分必要条件.
③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假.
④在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列的充要条件. ⑤ABC ∆中,若sin cos A B =,则ABC ∆为直角三角形.
判断错误的有___________
16、在直三棱柱111ABC A B C -中，11
BC AC ⊥．有下列条件： ①AB AC BC ==；②AB AC ⊥；③AB AC =．其中能成为
11BC AB ⊥的充要条件的是（填上该条件的序号）________．
三、解答题（共五小题，满分74分）
17、（本题满分14分）求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件．
18、（本题满分15分）已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：f(x)=－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围.
19、（本题满分15分）如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，O是
B1D1的中点，求证：B1C∥面ODC1。
20、（本题满分15分）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：22
31x y -=相交于不同的A 、B 两
点．
（1）求AB 的长度； （2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．
21、（本题满分15分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1底面△ABC
中，CA=CB=1，
∠BCA=90°，棱AA 1=2M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。
（1）求BN 的长度；
（2）求cos （1BA ，1CB ）的值；
（3）求证：A 1B ⊥C 1M 。
参考答案
一、选择题（每小题5 分，共10小题，满分50分）
1、B
2、C
3、A
4、D
5、B
6、D
7、C
8、B
9、A 10、C
二、填空题（每小题6分，共6小题，满分36分）
11、- 65 12、430x y +-= 13、22116925x y +=（0y ≠） 14、⎪⎭
⎫ ⎝⎛--29,41,411 15、②⑤
16、①、③
三、解答题（共六小题，满分74分）
17、（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于1210x x a
=<⇒ a ＜0 若方程有两负根，等价于4402010Δa a a ⎧⎪=-≥⎪⎪-<⇒⎨⎪⎪>⎪⎩0＜a ≤1
综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1
由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.
故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
所以ax 2+2x+1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是a ＜0或0＜a ≤1
18、（本题满分15分）解：不等式|x －1|<m －1的解集为R ，须m －1<0
即p 是真 命题，m<1
f(x)=－(5－2m)x 是减函数，须5－2m>1即q 是真命题，m<2
由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题
故p 、q 中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m<2
19、（本题满分15分） 证明：设c C b D C a B C ===11111，，，则
），（，b a O C a c C B +=-=2
111
c x b y x a y x b a y c a b x a c R y x OC y OD x C B y x c a b OD a b OD +-++-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-∈+=+-=-=）（）（）（）（则）成立，，（，使得，。
若存在实数）（），（2121212121211111
∵不同面，，，c b a ∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==-=+111021121y x x y x y x 即）（）（ ∴11OC B += ∵内。
所确定的平面不在为共面向量，且11111ODC OC B OC B ∴。
平面，即平面1111////ODC C B ODC B
20、（本题满分15分）
联立方程组⎩⎨⎧=-+=1
3122y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以{()038403222>-+=∆≠-a a a ，解得2212212232,32,3,6a
x x a a x x a a --=-=+≠<且。
(1) )
36(36524)(1122224212212212≠<-++-=-++=-+=a a a a a x x x x a
x x a AB 且。
(2)由题意得 0)1)(1(,0,121212121=+++=+-=ax ax x x y y x x k k ob oa 即即 整 理得1,12
±==a a 符合条件，所以
21、（本题满分15分）如图，
解：以C 为原点，1CC CB CA ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系。
（1） 依题意得出3101010=BN N B ），，，（），，，
（；
（2） 依题意得出
），，
（），，，（），，，（），，（21000001020111B C B A
532102111111===⋅=-=∴CB BA CB BA ），，，（），，，（ ∴cos ﹤11CB ﹥
3010
1= （3） 证明：依题意将
，，，），，，（，，，），，，（⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛02121211221212001111C B A M C M
C B A M C A C A 111111002
121⊥∴⊥∴=++-=⋅∴，。