0
x(t)
( y0 / x0 )2 100
乙方必须10倍于甲方的兵力方可取胜.
美国曾用这个模型分析越南战争．美国正规部队 （乙方）要取胜越南游击部队（甲方），至少要投入8 倍于游击部队一方的兵力，而美国最多只能派出6倍于 越南的兵力，美国得出不可取胜的结论，最终撤出了
越南．
正规战模 Engel J.H. 利用二次大战末期美日硫黄岛
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
结果 分析
y 0
d
rs s x rx x
线性律
x0 c ry sry s y 模型
乙方胜
即初始兵力之比y0/x0以线性关系影响战争结局，并 且当射击率和射击有效面积一定时，增加活动面
积Sx与增加初始兵力y0起着同样的作用．
Байду номын сангаас
3.4.4混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
3.4.3 游击战争模型 双方都用游击部队作战
•甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率
c = ry py ry~射击率 py ~命中率
py=sry /sx sx ~ 甲方活动面积 sry ~ 乙方射击有效面积
g(x, y) dxy, d rx px rxsrx / sy
在式（14）中令t=36，得
36
u A36
a 1 36
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
x -ay -x u(t) y -bx - y v(t) (2)
g bx, b rx px
•忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
y
bx
(3)
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型
x ay
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
3.4.1一般战争模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
1）每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，
模 型
f(x,y)~甲方战斗减员率，g(x,y)~乙方战斗减员率
假 2）每方非战斗减员率与本方兵力成正比，比
设 例系数分别为 ,
x cxy
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
n 0,乙方胜
n 0,平局
cy 2 2bx n
n cy 2 2bx
0
0
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y 0
x0
2r p s x xx
ry sry x0
n 0,甲方胜 设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
A0 0, J 0 21500
(13)
由u(t)及每天的伤亡 人数可算出A(t)， t=1,2, …,36（见图 3.4.4 中虚线）
图3.4.4
对式（13）用求和代替积 分得
dA aJ (t) ut
dt dJ bA(t) dt
A0 0, J 0 21500
(13)
t
t
At A0 a J u (14)
•忽略非战斗减员 •假设没有增援
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
游击战争模型
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
第三章 微分方程建模（Ⅱ）
§3.4 战争模型 §3.5 饿狼追兔问题 §3.6 放射性废物的处理问题
§3.4 战争模型
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关
y(t)
g(x,
y)
y
v(t),
0
（1）
在模型（1）中取 α = β = 0（忽略非战斗减员）,
且 vt 0, f x, y a J (t), gx, y bA(t),
54000 0 t 1
ut
6000 13000
2t3 5t 6
0
其它
于是有
dA aJ (t) ut
dt dJ bA(t) dt
3）甲乙双方的增援率分别为u(t), v(t)
模型 x(t) f (x, y) x u(t), 0
建立
y(t)
g(
x,
y)
y
v(t),
0
（1）
f, g 取决于战争类型
3.4.2 正规战争模型 双方均以正规部队作战
甲(乙)方战斗减员率只取决于乙(甲)方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
为判断战争的结局，不求x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
dy bx dx ay
ay2 bx2 k
k ay02 bx02
y(t)
k 0
k 0 x 0时y 0 乙方胜
k 0
2
ka
k 0
y 0
x0
b
r x
p x
a ry py
平方律 模型
k 0 甲方胜
0
k b
x(t)
k 0 平局
结果 分析
2
y0 x
0
b rx px a rp
yy
平方律 乙方胜 模型
上式说明双方初始兵力之比y0/x0以平方关系影响 着战争的结局，如乙方兵力增加到原来的2倍（甲 方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍，或 者若甲方的战斗力如射击率ry增加到原来的4倍（px, rx, py不变），乙方只要将初始兵力y0增加到原来的2 倍就可抗衡．
型检验
战役时美军的战地记录验证了正规战争模 型．
美军1945年2月19日开始进攻硫黄岛，战斗36 天，日军21500人全部阵亡或被俘，战地记录全部 遗失，美军投入兵力73000人，伤亡20265人．
美军有增援，日军没有增援.
用A(t)和J(t)表示美军和日军第t天的人数，
x(t) f (x, y) x u(t), 0
1
1
t
J t J 0 b A
(15)
1
由A(t)的实际数据可得
36
A 2037000
1
因J(36)=0, J(0)=21500, 式（15）中令t=36求得
b 21500 0.0106, 2037000
再将b=0.0106代入(15)式，又可算出J(t), t=1,2, …,36