则OG⊥AB,在Rt△OAG中,AG= OG = 1 = 3 ,
tan OAB tan 60 3
∴S=12×S△AOG=12× 1 AG·GO=12×1 × 3 ×1=2 3 .
2
23
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11.(2017湖南岳阳,15,4分)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为圆内接正多边形边数无限增
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四、刘徽与割圆术
刘徽(生于公元250年左右),是中国数学史上一个伟大的数学家,在世界数学史上,也占有杰出的地位,他 的杰作《九章算术注》和《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产,刘徽在几何方面提出了“割圆术”,即 将圆周用内接或外切正方形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法,他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3. 141 024的近似结果,他在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无 所失矣”,可视为中国古代极限观念的佳作.
栏目引索引 7.(2018四川泸州,8,3分)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长 直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 ( )
加时,周长就越接近圆周长,由此求得圆周率π的近似值.设半径为r的圆内接正n边形的周长为L,圆的直径为
d,如图所示,当n=6时,π≈ L = 6r =3,那么当n=12时,π≈ L ≈
.
d 2r
d
(结果精确到0.01,参考数据:sin 15°=cos 75°≈0.259)
答案 3.11
解析 圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形,其顶角为30°, 即∠AOB=30°,作OH⊥AB于点H, 则∠AOH=15°,
A.9 B.6 C.4 D.3 答案 D 设直角三角形斜边的长为c,根据勾股定理,得c2=a2+b2,∵大正方形的面积为25,∴c2=25,即a2+b2=2 5.∵ab=8,∴(a-b)2=a2+b2-2ab=25-2×8=9,∴a-b=3,∴小正方形的边长为3.故选D.
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8.(2018内蒙古通辽,14,3分)如图所示的图案是3世纪我国三国时代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出
A.20 B.24
C. 99
4
D. 53
2
答案 B 如图,设小正方形的边长为x(x>0), ∵a=3,b=4,∴AB=3+4=7, 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, 即(3+x)2+(x+4)2=72, 整理得x2+7x-12=0,
解得x= 7 97 或x= 7 97 (舍去),
2
2
的,人们称它为“赵爽弦图”.已知AE=3,BE=2,若向正方形ABCD内随意投掷飞镖(每次均落在正方形ABCD
内,且落在正方形ABCD内任何一点的机会均等),则恰好落在正方形EFGH内的概率为
.
答案 1
13
解析 由题图可知,正方形EFGH的边长为AE-AH=AE-BE=3-2=1,正方形ABCD的边长为 AE2 BE2 = 13 ,∴ 恰好落在正方形EFGH内的概率为 S正方形EFGH = 1 .
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3.(2018湖南邵阳,10,3分)程大位是我国明朝商人,珠算发明家,他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古 代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题: 一百馒头一百僧,大僧三个更无争, 小僧三人分一个,大小和尚得几丁. 意思是:有100个和尚分100个馒头.如果大和尚1人分3个, 小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人.下列求解结果正确的是 ( ) A.大和尚25人,小和尚75人 B.大和尚75人,小和尚25人 C.大和尚50人,小和尚50人 D.大、小和尚各100人 答案 A 设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据题意得3x+100 x =100,解得x=25,则100-x=100-25=75,
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中考数学
（江苏专用）
§8.6 数学文化与数学史
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一、《九章算术》与正负数
中国古代著名的数学专著《九章算术》(成书于公元一世纪)中,其作者已不可考,一般认为它是经历代名家 的增补修订而逐渐成为现今定本的,书中最早提出了正负数加减法的法则:“同名相除,异名相益,正无入负之,负 无入正之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.”这里的“名”就是“号”,“除”就是“减”,“相 益”“相除”就是两数的绝对值“相加”“相减”,“无”就是“零”. 1.(2017四川成都,1,3分)《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其 意义相反,则分别叫做正数与负数.若气温为零上10 ℃记作+10 ℃,则-3 ℃表示气温为 ( )
A.13寸 C.26寸
B.20寸 D.28寸
答案 C ∵ED=1寸,∴OD=OE-1=(OA-1)寸, ∵AB=10寸,∴AD=5寸, 在Rt△AOD中,由勾股定理得OD2+AD2=OA2, 即(OA-1)2+52=OA2, 解得OA=13寸, ∴AC=26寸.故选C.
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栏目引索引 14.(2018吉林长春,6,3分)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣: 今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道 有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1 尺=10寸),则竹竿的长为 ( )
解析 设城中有x户人家,根据题意得, x+ x =100,
3
解得x=75. 答:城中有75户人家.
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三、赵爽与勾股定理
公元前十一世纪,周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”,在《周髀算经》中有记载,根据该典 故勾股定理也称商高定理.公元三世纪,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理做出了详细注释, 《九章算术》中以“勾股各自乘,并而开方除之,即弦”表述,赵爽创制了一幅“勾股圆方图”(也称赵爽弦 图),用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.
得的数值为
.
答案 -3 解析 根据题意可得,题图②中所得的数值为(+2)+(-5)=-3.
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二、古代数学著作与方程
《九章算术》中收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中每道题有问(题目)、答(答案)、 术(解题的步骤),其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造,书中还有专门以“方程”命名的一章. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,约成书于四、五世纪,作者生平和编写年不详. 《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》,是一部应用数学书,也是中国古代数学名著,明代数学家程大位 (1533—1606)著.
A.零上3 ℃ B.零下3 ℃ C.零上7 ℃ D.零下7 ℃ 答案 B 由题意知,“-”代表气温为零下,所以-3 ℃表示气温为零下3 ℃,故选B.
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2.(2017江西,9,3分)中国人最先使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小
棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.如图,根据刘徽的这种表示法,观察图①,可推算图②中所
A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 答案 B 设竹竿的长度为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,标杆的影长=五寸 =0.5尺,根据题意有 x = 1.5 ,解得x=45,∴竹竿的长为45尺,即四丈五尺.故选B.
15 0.5
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15.(2018山东泰安,18,3分)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:
解析 设1个大桶可以盛酒x斛,1个小桶可以盛酒y斛,
则
5x x 5
y y
3, 2,
解方程组得
x
y
13 24 7 24
, .
答:1个大桶可以盛酒 13 斛,1个小桶可以盛酒 7 斛.
24
24
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6.(2018安徽,16,8分)《孙子算经》中有这样一道题,原文如下: 今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何? 大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.问:城中有多少户人 家?
∴该矩形的面积=
7
2
97Biblioteka 3×72
97
4
=24.
故选B.
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13.(2018四川乐山,7,3分)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成 就,它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯 之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小.用锯去锯木料,锯 口深一寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸).问这块圆形木材的直径是多少?”如图所示,请根据所学知识 计算:圆形木材的直径AC是 ( )
S正方形ABCD 13
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9.图①是我国三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如
图②,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角
三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为
.
答案 10
解析 ∵四边形EFGH为正方形,∴EH=EF=2, 又∵DE=8,∴DH=6, ∵△DHC≌△BFA≌△AED, ∴AF=DE=8,BF=DH=6, ∴AB= BF 2 AF 2 = 62 82 =10.