三角形的证明及旋转专题一、选填：1.A ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A. 4B. 4 或5C. 5 或6D. 62.（2013* 烟台）如图,AABC 中,AB=AC, ZBAC=54。
，点D 为AB 中点,MOD 丄AB, ZBAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将ZC沿EF （E在BC上，F在AC ±）折度.3.在平面直角处标系xOy中，己知点A （2, 3）,在坐标轴上找一点P,使得AAOP是等腰三角形，则这样的点P共有____________ 个.4.如图，点P在第一象限，AABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随Z在y轴的正半轴上运动，运动过程中,点P到原点的最大距离是___________ : 若将AABP的PA边长改为2迈，另两边长度不变，则点P到原点的最人距离变5.______________________________ 如图，正方形ABCD在平面直角处标系屮的位宜如图所示，点B与原点重合，点D的坐标为（4, 4）,当三角板直角顶点P坐标为（3, 3）吋，设一直角边与x轴交于点E,另一直角边与y轴交于点F.在三角板绕点P旋转的过程中，使得APOE成为等腰三角形，请写出满足条件的点F的坐标•x+21 >3 _ X!6.关于x的不等式组］2 的所有整数解的和是・7,则m的取值范用x<Cin是___________ .7.如图,在RtAABC 中,ZABC=90°, AB=BC=V2,将AABC 绕点C 逆时针旋转60。
,得到△ MNC,连接BM,则BM的长是_______________ .O A二、解答题：8•如图所示，正方形ABCD的边长为b G为CD边上的一个动点(点G少C、D不重合), 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H.(1)求证：©ABCG^ADCE；②BH丄DE.BH垂直平分DE?请说明理111.B Q E类比变换：9.（大连）如图1, RtAABC中AB=AC,点D、E是线段AC ±两动点，且AD=EC, AM 垂直BD,垂足为M, AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断ADEF的形状，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程Z后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将ABAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90。
后图形；2、点K在线段BD上，II四边形AKNC为等腰梯形（AC〃KN,如图2）.附加题：如图3,若点D、E是肓线AC±两动点，其他条件不变，试判断ADEF的形状,并说明理由.图1 图2 图3 _ '如图1, AABC 与厶DEF 中，AB=AC, D 为BC 的中点,ZEDF+ZBAC=180°，直线DF、DE分别交直线AB、AC于点P、ZBAC=60°,猜想BP+QC与BC的关系,并说明理由;(2)___________________________________________ 当ZBAC=120°, BP+QC 与BC Q.(I)如图2,E图1图3的关系为____________________________________________10.（仙桃）两个大小相同II•含30。
角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使宜角顶点重合.将图①中ZXDEC绕点C逆时针旋转30。
得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点.（1）不添加辅助线，写出图②中所有与ABCF全等的三角形；（2）将图②中的ADEC绕点C逆时针旋转45。
得△D]E|C,点F、G、H的对应点分别为F]、G|、H|,如图③.探究线段D]F|与AH】Z间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若DiEi与CE交于点I,求证：GiI=CI.若AB=2, DC=4,求AABE 的面积.旋转：11. 在平面内，旋转变换是指菜一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一•定的和度而得到 新位置图形的一种变换.活动一：如图1，在RtAABC 中,D 为斜边AB±的一点，AD=2, BD=1,且四边形DECF 是正方形，求阴影部分的面积.小明运用图形旋转的方法，将ADBF 绕点D 逆时针旋转90。
，得到△ DGE （如图2所示）, 一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积： _____________ .活动二：如图 3,在四边形 ABCD 中，AB=AD, ZBAD=ZC=90°, BC=5, CD=3,过点 A小明仍运用图形旋转的方法，将AABE 绕点A 逆时针旋转90°,得到AADG （如图4所示），则①四边形AECG 是怎样的特殊四边形？答： _____________ ・AE 的氏是 _____________ . 活动三：如图5,在四边形ABCD 中，AB 丄AD, CD 丄AD,将BC 按逆吋针方向绕点B 旋D E 5 C12.(宇德)如图1,在正方形ABCD中，E是AB ±一点，F是AD延长线上一点，R DF=BE.(1)求证：CE=CF；(2)在图1中，若G在AD上，kZGCE=45°,则GE=BE+GD成立吗？为什么？(3)运用(1) (2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2,在宜角梯形ABCD 屮，AD〃BC (BC>AD), ZB=90°, AB=BC=12, E 是AB ±一点，且ZDCE=45°, BE=4,求DE 的长.13.(高淳县)如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点0按顺吋针方向旋转角a (0°<a <45°),得到正方形OAjBiCj.设边BiCi与OC的延长线交于点M,边B]Ai与OB交于点N,边B]A]与OA 的延长线交于点E,连接MN.(1)求证：AOCiM竺AOAiE；(2)试说明：AOMN的边MN上的高为定值；(3)△MNB]的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明,并求出p的值.14.(江西模拟)课题学习问题背景甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1, E是边长为a的止方形ABCD 屮CD 边上任意一点，以点A为中心，把AADE顺时针旋转9()。
，呦出旋转后的图形任务要求：(1)请你在图1中画出旋转后的图形甲、乙、丙三名同学又继续探索：在正方形ABCD 屮，ZEAF=45°,点F为BC ±一点，点E为DC ±一点，ZEAF的两边AE、AF分别与肓线BD交于点M、N.连接EF甲发现：线段BF, EF, DEZ间存在着关系式EF二BF+DE；乙发现：ACEF的周长是一个恒定不变的值；丙发现：线段BN, MN, DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2(2)现请也参与三位同学的研究工作屮来，你认为三名同学小哪个的发现是正确的，并说明你的理由.Si15.（高港区）如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG,边AE在边AB」：，AB=12, AE= 辺.将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a （0°<a<45°）（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证:BE=DG；（2）在旋转的过程中,当ZBEA=120。
时，试求BE的长；（3）BE的延长线交肓线DG于点Q,当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转15°, 请直接写出DQ的长；（4）在旋转的过程中，是否存在某吋刻BF=BC?若存在，试求111 DQ的长：若不存在，请说明理由.（点Q即（3）中的点）16.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF1BD交BC于F,连接DF, G 为DF'P点，连接EG, CG.（1）求证:EG=CG；（2）将图①中ABEF绕B点逆时针旋转45。
,如图②所示，取DF中点G,连接EG, CG.问（1）屮的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①小ABEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）.图①图②图⑤C B图（1）G备用图函数关系类：17.如图1,已知ZABC=90。
，AABE是等边三角形，点P为射线BC ±任意一点（点P与点B不重合），连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60。
得到线段AQ,连接QE并延长交射线BC于点F.（1）________________________________________ 如图2,当BP=BA 时，ZEBF= °,猜想ZQFC= _____________________________________ °；（2）如图1,当点P为射线BC上任意一点时，猜想ZQFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=2<3,设BP二x，点Q到射线BC的距离为y,求y关于x的函数关系式.动点中的等腰三角形：。
1&如图(1), RtAAOB 中，ZA二90° , ZAOB=60° , 0B二2貞，ZAOB 的平分线OC 交AB于C,过O点做与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC -CO以每秒1 个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C岀发沿折线CO- ON以和同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动.(1)求OC、BC的长；(2)设ACPQ的面积为S,求S与t的函数关系式；(3)当P在OC上Q在ON上运动时，如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时，AOPM为等腰三角形？求出所有满足条件的(值.N N图(2)图(1)。