Abstract: The crystal lattice constant is an important parameter of the crystal and it changes extremely slightly. To discover this slight change, we must carry on the accurate determination to the crystal lattice constant. This paper deals with how to carry on the accurate determination to the crystal lattice constant and explores it. Keywords: Crystal, lattice constant, accurate determination, Bragg equation ， Least squares method ， Canonical equation. [正文] 0 引言 晶体的点阵常数是晶体的重要参数，它随物质的化学成分和外界条件而改变；同时，晶体 的点阵常数发生微小改变，往往给该物质的性质、结构以及材料的其它性能带来重大的变化， 晶体的许多重要性能都是由于晶体的点阵常数的改变引起的。尤其在材料科学研究日益发达的 今天，新型材料的获得和新性能的发现，对社会的发展、现代信息产业的技术支持和改善今天 的能源短缺，都有十分积极的意义。从这点上说，我们在研究材料的时候，确定晶体的点阵常 数是十分必要的。但是，这类改变往往在 10 须对晶体的点阵常数进行精确测定。 1 传统的测量理论： 我们对晶体的点阵常数进行精确测定，主要还是利用 X 射线技术来进行测量。在测量中所 用到的最基本的公式就是晶体衍射的布拉格方程：
d cot （4） d hkl
由此可见，由布拉格角度 所引起误差是一个与余切函数相关的函数，显然，布拉格角度 越 0 0 小，所引起误差就越大。从精确度角度考虑，我们所选择的布拉格角度 处于 25 ～35 这样的 一个范围。当然了，该实验的误差还有如下几个方面：1、仪器的固有误差： （1）2 角度的误 差； （2）2：1 跟随误差与齿缝误差； （3）样品转轴和偏心摆动误差等。2、光阑系统和准直误 差。3、光束几何误差。4、物理因素误差。我们主要考虑的是折射误差。其校正的经验公式为
精确测定点阵常数的探索
摘要： 晶体的点阵常数是晶体的重要参数，它的改变是极细微的。若要发现这些细微改变，我们 必须对晶体的点阵常数进行精确测定。 本文从如何对晶体的点阵常数进行精确测定这一点谈起， 对此作以探索。 关键词： 晶体、点阵常数、精确测定、布拉格方程、最小二乘法、正则方程。
Exploration of the Accurate Determination to the Lattice Constant
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3
4
Å数量级以下。若要揭示这些极细微的变化，必
2d hkl sin n
（1）
其中， d hkl 为晶面指数为（hkl）的面间距， 为衍射角，也称布拉格角度， 为所用 X 射线的 波长， n 为衍射的发生级数，布拉格衍射方程可以确定出多级衍射情况，但是，级数越高，所 得到的衍射强度越小，光谱分析越不明显，误差也就越大，所以，在点阵常数的精确测定中， 真正起作用的就是级数较低的情形。在具体的分析过程中，我们只考虑衍射最强的情形，即
n 1 ，此时的布拉格方程就变为[1]：
对于上面的式子，我们来做一个微分近似处理，得
2d hkl sin d 1 பைடு நூலகம் cot 2 sin
（2） （ 3）
这个式子表达了在具体的实验中，由测量布拉格角度 所引起误差的确定方法，点阵常数的精
1
确测定必须考虑到这一点。将（3）和（2）进行比较后可得，
4 结语： 至此，我对晶体点阵常数精确测定的探索，是在引入数学这个工具的基础之上进行的。利 用这些，可以加深我们对微观世界的认识和探索，同时，也为我们将来对微观世界的进一步研 究中提供一个方法。 参考文献： [1]方俊鑫、陆栋. 固体物理学[M]. 上海：上海科技出版社，1995. [2]范雄. 金属 X 射线学[M]. 广州：广东工学院出版社，1997. [3] C.Kittel, Introduction to Solid State Physics Chapts. John Wiley & Sons,Inc.
sin 2
2 a ，对于立方晶系来说， d hkl ，所以， 2 4d h2 k 2 l 2
2
变化后的布拉格方程有这样的一种关系
2 2 sin 2 h k 2 l 2 4a
2
（ 8）
其实， 对于任何晶系来说， 都有类似关系， 可以用这个方程来表示
sin 2 mi A ni C （9）
其中， i l i ， i 10 sin 2 ， C
2 2
（10）
2 ，D 为漂移常数。这里还需要说明一下，在四 4c 2
方晶系中， A
2 2 2 2 2 2 A h k ， ；在六方晶系中， ， i hi hi k i k i 。 i i i 4c 2 3c 2
d 2 与测量误差 (sin ) 的关系。再 d
利用最小二乘法原理中 “多次测量误差平方和最小时所求变量为最佳值”的原理，推出计算晶 格常数的正则方程。 四方晶系和六方晶系的正则方程同为[3]
A i2 C i i D i i i sin 2 i A i i C i2 D i i i sin 2 i A i i C i i D i2 i sin 2 i
d 测 d 校 1
（7）
以上即为对晶体点阵常数进行精确测定的理论依据。 2 晶体 X 射线衍射图的获得和数据分析基础： 我们在进行晶体的点阵常数进行精确测定的过程中，首先要获得晶体的实验数据。获得准 确的实验数据需要有一个较好的实验方 法。我们采用的方法为金属 X 射线衍射 粉末相分析法，简称粉末法[2]。这种方 法操作简单，具体过程如下。 （1）用酒 精将实验用的小匙子、 研钵等器具洗净。 （2）将待测物质放入研钵中，大约需要 两个小时至四个小时将其研得极细。 （3） 将研细的粉末用小匙子放在预先洗净的 载玻片上，滴入几滴酒精至表面形成溶 液层，并且使得表面平均。 （4）将载玻 片放好，开始实验、监测。这种实验方 法简单、所获得的数据也很准确，主要 的工作集中在第二步中，这一步是实验 成功与否的关键。实验的结果是，计算机输出该物质的 X 射线衍射图。我们分析该衍射图，出 现波峰位置所对应的角度即为衍射角度，获得了衍射角度，也就获得了精确测定晶体的点阵常 数所依据的数据。在衍射图中，27.41o 是指发生衍射的衍射角度应该为 13.705o，不是 27.41o， 同样，93.84o 是指另一级衍射的衍射角度为 46.92o，不是 93.84o。 3 我对晶格常数精确测定的见解： 我们在进行每一级运算的时候， 代入的是所给角度的一半。 我们对布拉格方程进行变化后， 有这样的一种关系为
在四方晶系中，
mi hi2 k i2 , n l i2 2 2 A 2 ,C 2 4a 4c mi hi2 hk k i2 , n l i2 2 2 A , C 3a 2 4c 2
；
在六方晶系中，
。
我们考虑到晶体的布拉格衍射是同时在不同的晶面出现的，所以，由对方程（8）所得出的 结果一定是分散的。这也就说明了误差的存在。如何将误差降为最小值，我们还得引入最小二 乘法。为此，布拉格方程要微分，以求得面间距相对误差
d 测 d 校 1 2 sin
其中，
（5）
2.702 10 6 2 Z A
（6）
为该物质的密度， Z 为组成该物质分子的总的电子数， A 为该物质分子的总的质量数。
根据组成该物质分子的总的电子数 Z 和 该物质分子的总的质量 A 的关系，我们可以把上 面的式子作以近似为