a3 (b c)2
b3 (c a)2
c3 (a b)2
(a
b c) .
求 的最大值.
解：取 a 1 ,b 1 , c 2 ，其中 0 1 .
2
2
6
（1 +）3 则 2
(1 )3 2
(2 )3
（1 +）3 2
1 2
（1 3 )2 ( 1)2 (2 )2 （1 3 )2 2
2
2
2
对任意的（0 1）成立. 6
注意到当
0+
（1 +）3 时， 2
（1 3 )2
1 2
2
1，
2
所以， 1 .
......5 分
另一方面，下证： =1成立，即证
a3 (b c)2
b3 (c a)2
c3 (a b)2
(a b c)
.
不妨设 a b c ，则可令 a=c x,b c y ，其中 x y 0 .
设 A(x1 ,y1) ， B(x2 ,y2 ) ，则 x1 x2 k ， x1x2 1.
过点 A(x1 ,y1) 的抛物线 y x2 的切线方程是 y y1 2x1(x x1) ，
由 y1 x12 ，代入可得 y 2x1x x12 .
过点 B(x2 ,y2 ) 的抛物线 y x2 的切线方程是 y 2x2 x x22 ，
所以，问题得证.
......15 分 ......20 分
参考答案及评分标准 （第 4 页，共 4 页）
令
k2
1 t ( t ≥1 )，则 d
| t2 1 2|
2
t
3
≥2
3
3
t
2 2t
4
当且仅当 t 3 ，即 t 3 ， k 2 时，等号成立. 2 2t
所以，点 Q 到直线 AB 的距离的最小值为 3 .
......12 分 ......16 分
10. （本题满分 20 分）
设 为正实数，对任意两两不等的正实数 a 、 b 、 c ，都有
不定方程 m P(A) P( A) P(A) P(A) 即可.
a1
a2
an
参考答案及评分标准 （第 3 页，共 4 页）
即 m 1 1 1 1.（*）
P( A) a1 a2
an
取 ai xi (i 1, 2,, n 1), an m x1x2 xn1 .
其中， x1 2, xn1 1 x1x2 xn (n N*) .
1 x2
1 xk
1 x1x2 xk
1.
......5 分
引理的证明：对 k 进行归纳： 当 k 2 时，结论显然成立；
1 假设结论对 k 成立，即
x1
1 x2
1 xk
1 x1x2 xk
1，
于是
1 x1
1 x2
1 xk
1 xk 1
1 x1x2 xk xk 1
1
1 x1x2 xk
1 xk 1
联立解方程组
y y
2x1x x12 2x2 x x22
，得
x y
x1 2
x1x2
x2
.
即点
Q
的坐标为
(
x1
2
x2
,x1 x2
)
，即
(
k 2
,
1)
.
| k k (1) 1|
点 Q 到直线 AB 的距离 d 2....8 分
参考答案及评分标准 （第 1 页，共 4 页）
(x y)(x2 xy y2 )(x y)4 0 ， ①
......15 分
参考答案及评分标准 （第 2 页，共 4 页）
注意到①式中，关于 c 的多项式系数都是大于 0 的，从而①成立.
综上可知，所求 的最大值为 1.
......20 分
11. （本题满分 20 分）
设 m 是 给 定 的 正 整 数 . 求 证 ： 对 任 意 给 定 的 正 整 数 n(n 2) ， 都 存 在 集 合
过点 P(0,1) 作一直线 l ， l 与抛物线 y x2 交于 A 、 B 两不同点，过点 A 、 B 分别作抛
物线 y x2 的切线，两切线交于点 Q . 求点 Q 到直线 AB 的距离的最小值. 解：显然直线 AB 的斜率存在，设为 k ，则直线 AB 的方程为 y kx 1. 联立直线 AB 和抛物线方程，消去 y ，得 x2 kx 1 0 .
A {a1, a2 ,, an}
N* ，使得对任意的正整数 k
(1 k
n) ，都有 ak
|
m
P( A) ak
，其中 P(A) 表
示集合 A 中的元素之积.
证明：先证一个引理：数列{xn}满足： x1 2, xn1 1 x1x2 xn (n N*) ，则对任意
正整数 k
(k
2) ，都有 1 x1
1 x1x2 xk xk1
1
1
x1x2 xk xk x1x2 xk xk 1
1
1，
故结论对 k 1 也成立.
由归纳原理知：
对任意正整数 k
(k
2) ，都有
1 x1
1 x2
1 xk
1 x1x2 xk
1.
......10 分
回到原题：
只需证：存在 A {a1, a2,, an} N* ，其中 a1 a2 an ，满足
则 a1 a2 an ，且
m 1 1 1
P( A) a1 a2
an
m x1x2 x1x2 xn1an
1 x1
1 x2
1 xn1
1 an
m x1x2 x1x2 xn1an
1
1 x1x2 xn1
1 an
m+x1x2 x1x2 xn1 an x1x2 x1x2 xn1an
1
1.
于是（*）成立.
2020年全国高中数学联赛（四川赛区）试题
参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1
1、 2、 3、5
4
4
4、12 、 6060 6
6、 3 2 2 7、3 5
8、53.
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9.（本题满分 16 分）
（c
即需证：
x)3
(c
y)3
c3
3c x y ，
y2
x2 (x y)2
......10 分
(c x)3 x2 (x y)2 (c y)3 y2 (x y)2 c3x2 y2 (3c x y)x2 y2 (x y)2
（x2 xy y2 )2 c3 3(x3 y3)(x y)2 c2 3(x4 x2 y2 y4 )(x y)2 c