∆ (∞) − (∞) −
( ) ( )
其中∆t = − ， uC(∞)为电容电压的稳态值。本实验可以利用此式来测量时间常数。 注意，uC(∞)可以用 uC(t＞5τ)近似代替，误差将不超过 1%。 6. 凡是可用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。图 7 所示的线性 RLC 串联电路 是一个典型的二阶电路(图中 US 为直流电压源)，它可以用下述线性二阶常系数微分方程来 描述 ： LC

2 0 2
1 R2 LC 4 L2

设 I0＝0，有
uc (t )
其中 tan
1
U 00
。

e t sin(t )
t0
(4)当 R＝0 时， 响应是等幅振荡性的， 称为无阻尼情况， 等幅振荡角频率即为谐振角频率 0 。 设 I0＝0，有， uc (t ) U 0 cos 0t ，t≥0 (5)当 R＜0 时，响应是发散振荡性的，称为负阻尼情况。 8. 对于欠阻尼情况，衰减振荡角频率 和衰减系数 可以从响应波形中测量出来，例如： 在响应 i(t)的波形中(图 9)， 可以利用示波器直接测出，对于 ，由于有
其中τ的定义同上。可见，全响应可以看成零状态响应和零输入响应的叠加，也可以分解为 强制分量与自由分量之和。当 t→∞时，自由分量趋于零，过渡过程结束，电路进入稳态。 同理，由响应曲线图 6 可得 τ= ln − − −
图 5 全响应电路图 5.以上三种响应τ的表达式可以统一表示为: τ= ln
图 6 全响应曲线
t≥0。其中τ的定义同上，同理，由响应曲线图 4 所示，可得： τ= − ln
图 3 零输入响应电路图 图 4 零输入响应曲线 4.全响应是输入激励和储能元件的初始状态共同作用下引起的响应。对于图 5 所示的电路 有 (0 ) = ,当 t=0 时，开关 K 打开，此时电源通过 R 向 C 充电。有 ( )= − t≥0
1 ，则： LC
(1)当 0 ，即 R 2 征根分别为
L 时，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。其微分方程的两个特 C
p1 2 பைடு நூலகம் 02 p2 2 02
设 I0＝0，有
uc (t )
(2)当 0 ，即 R 2 等的负实根 。 设 I0＝0，有
R
r
C
图 10 二阶电路实验电路图 三、任务与方法 1. 练习的示波器使用：示波器用测量其自检信号的频率和幅值； 2. 利用示波器的双踪显示功能，在示波器上同时显示其自检信号和函数信号发生器的波形 信号（1000Hz 的正弦波，振幅为 1V） ； 3. 选择合适的 R 和 C，连接 RC 电路，并接至 Upp 为 1V 的方波信号，调节电阻的值或信号 源频率，使得方波周期 T>10τ,并利用示波器同时观察 us 和 uc 的波形； 4. 利用示波器测出电路的时间常数（自拟实验测量数据表） ； 5. 按图 10 接线。取 L=0.1H，C=0.68μF，R=1kΩ，r=51Ω。us 为频率为 100HZ 的方波信号， 输出电压为 1V(幅值) 并保持不变。观察并描绘该情况下的方波响应。 6. 按图 10 接线。取 L=0.1H，C=0.68μF，R=0Ω，r=51Ω。us 为频率为 100HZ 的方波信号， 输出电压为 1V(幅值) 并保持不变。观察并描绘该情况下的方波响应。并测量上述欠阻尼情 况下的振荡角频率 和衰减系数 。 7. 从大到小改变 R，观察各种情况下 iL(t)波形随 R 的变化规律。 四、思考题 1．已知 RC 一阶电路 R=10Ω，C=0.1μF，试拟定测量该电路时间常数的方案；
程度，τ越大，过渡过程持续的时间越长。
图 1 零状态响应电路图 图 2 零状态响应曲线 假设测得的响应曲线如图 2 所示，若在曲线上任取两点 P、Q，则有 τ= ( − ) ( − ) ln ( − )
3.零输入响应是电路在无激励的情况下， 由储能元件的初始状态引起的响应。 对于图 3 所示 的电路，有 (0 ) = ，t=0 时，开关 K 打开，此时电容 C 通过 R 放电。有 ( ) =
d 2uc du RC c uc U S 2 dt dt
初始值为： uc (0 ) U 0
duc dt

t 0
iL (0 ) I 0 C C
求解微分方程，可以得出电容上的电压 uc (t ) 。再根据 iL (t ) C 可求得 ic (t ) ，即 iL (t ) 。
U 0 ( p1e p2t p2 e p1t ) p1 p2
t0
L 时，响应临近振荡，称为临界阻尼情况，其微分方程具有两个相 C
uc (t ) U 0 (1 t )e t
t0
(3) 当 0 ，即 R 2
L 时，响应是振荡性的，称为欠阻尼情况，其衰减振荡角频率为 C
2. 根据原理与说明中给出的 uc(t)表达式，给出相应 iL(t)的表达式。 3. 设计一个串联 RLC 欠阻尼电路，满足下列要求： (1) 激励方波信号电源频率为 2kHz，幅值为 5V，L＝0.1H，取样电阻 r＝0.5 kΩ。 (2) 自由分量在接近信号电源的半个周期时衰减到零。 (3) 在信号电源的半个周期内振荡 2～4 个周期。 4. 设计一个过阻尼电路，f、L、C 参数同上，要求 uc 在接近信号电源的半个周期时达到稳 定。 5. 从方波响应来看，当 RLC 串联电路处于过阻尼情况时，若减少回路电阻,iL 衰减到零的 时间变短还是变长?当电路处于欠阻尼情况下，若增加回路电阻，振荡幅度衰减变快还是变 慢?为什么? 五、实验报告要求 1. 回答思考题； 2. 根据实验任务 3 观测结果，绘出 RC 电路在激励为方波周期下，响应 uc 的变化曲线； 3. 根据任务 4 测量的数据计算时间常数τ，并与理论值进行比较； 4. 试分析一阶电路测量时间常数时， 有哪些因素可导致测量误差， 并估算测量误差的大小； 5. 在坐标纸上画出二阶电路观测的 ur(t)、uc(t)、iL(t)的过阻尼、欠阻尼情况下的波形图； 6. 把实验任务 6 测得的 和 值与理论值比较 六、注意事项 用示波器测量时，要注意示波器的共地问题。
i1m Ae t1 ；
故:
i2 m Ae t2
i1m e (t1 t2 ) e (t2 t1 ) , i2 m
2
显然，(t2-t1)即为周期 T

，所以：
1 i1m ln T i2 m
图 9 衰减振荡响应曲线
由此可见，用示波器测出周期 T 和幅值 i1m , i2 m 后，就可以算出的 值。
duc dt
图 7 RLC 串联电路 图 8 RLC 串联电路零输入响应电路图 7. RLC 串联电路零输入响应(图 8)的类型与元件参数有关。设电容上的初始端电压
uc (0 ) U 0 ，流过电感的初始电流 iL (0 ) I 0 ；定义衰减系数(阻尼系数)
角频率 0
R ，谐振 2L
动态电路的暂态响应研究
一、实验目的 1. 基本掌握示波器、信号发生器的使用。 2．学习用示波器观察 RC 电路过渡过程的响应曲线。 3．学习测量 RC 电路过渡过程的时间常数。 4. 研究 RLC 串联电路参数与其暂态过程的关系。 5. 学习用示波器测量衰减振荡角频率和衰减系数。 二、原理与说明 1．在含有储能元件(L 或 C)的电路中，当电路结构或元件的参数发生变化时，电路从原来的 工作状态需要经历一个过渡过程才能转换到另一种工作状态， 此过渡过程可以用微分方程来 描述和求解。 一阶电路是可以用一阶微分方程来描述和求解的电路， 通常由一个储能元件和 若干个电阻元件构成。 2．零状态响应是当所有储能元件的初始值为零时，电路对外加激励的响应。对于图 15-1 所示的电路，设 (0 ) = 0，当 t=0 时，开关 K 闭合，直流电源通过 R 向 C 充电，有 ( )= (1 − ) t≥0 其中τ=RC，称为此电路的时间常数，它反映过渡过程进行的快慢