（1）为克服在不知道主应力大小次序的情况下，Tresca破 坏准则用起来不方便，并且没考虑 2 的影响。 （2）Mises提出以外接圆柱面代替六棱柱面
由于圆的半径为 R 2 / 3，故圆的方程为
r2 2R2 /3
其中，r为应力偏量大小，即
r
2 1
2 2
2 3
1 3
1 2 3
2
2
J2
于是得Mises破坏准则
1
a 3
t，（当 2
1 a3
1 a
）
︵。︵
23
岩土力学中，一般采用抗压强度参数，则上式可写成
F
1 a
1
1 1 b
b 2
3
c，（当 2
1 a3
1 a
）
F'
1 a(1
b)
b 2
1
3
t，（当 2
1 a3
1 a
）
以b为参数，取不同值则可得到不同强度理论，例如：
b=1，双剪应力强度理论 b=0，M-C强度理论
1 3
2
kf
当材料的单轴抗拉强度等于单轴抗压强度且为R时，有
1 3 R 2k f
当不知主应力大小次序时，也可写成
︵。︵
11
1 2 R，或
1
2 3 R，或
3 1 R
在剪应力空间中，（1）表示2个平行于 3 轴和等倾线的平 面，同理，另两式也分别表示平行于对应轴和等倾线的平
面。这六个平面组成的破坏面是一个以等倾线为轴线的正
第三章 土的强度理论
汇报人：西国庚
︵。︵
1
概况
3.1强度条件的形式 3.2经典强度理论 3.3广义强度理论 3.4统一强度理论
︵。︵
2
3.1 强度条件的形式
• 强度条件
• 基本思路：简单实验
强度条件（简单
应力状态）
理论推广（复杂应力状态）
普遍形式强度条件
︵。︵
3
3.1.1 第一种形式
• 基本概念 （1）应力空间：以应力分量为坐标轴构成的空间
2
3
)
3 m
OP在π平面上的分量OP’为应力偏量分量，其大小为
OP' OP 2 OP'' 2 2 J2
1，
2，
3在
平面上投影，得三根轴，用1’，
2’，
’表示
3
在
平面取坐标系oxy，使其y轴与
’重合。
2
P（1， 2，3）在 平面上投影P '坐标（x,y）
(1,0,0，)(0,
2
,0，)(0,0,
1 3
1 3 2c ctg
或
c
1
3
1
3tg2 (45
) 2c tg(45
2
)
2
︵。︵
14
或
3 1tg2 (45
) 2c tg(45
2
)
2
（1）
或
1 3 c cos 1 3 sin
2
2
或
（2）
ff
1 3
I1
sin
(cos
sin sin ) 3
J2 ccos 0
其中Lode角为
25
谢谢！
︵。︵
26
具有如下关系： 1 2 3
I1 ij x y z 1 2 3 3 m
I2
x
y
y x
z x
2 xy
2 yz
2 zx
12 23 31
I3
x y z
2
xy
yz
zx x 2yz
y
2 zx
z
2 xy
1 2 3
m 为平均应力，或静水应力
︵。︵
5
2）应力张量＝应力球张量+应力偏量
3.3.3 Lade-Duncan破坏准则
来源：广义Mises破坏准则没考虑中间主应力或Lode角的影响。
︵。︵
19
公式：
ff I13 / I3 kf 0
或
ff
2 33
J 3/2 2
sin 3
1 3
I1
J
2
1 27
1 kf
I13
0
可以证明，其图形为曲边三角形，外接M-C准则六角形的三个 外角顶点。
六棱柱面。破坏面与 平面的交线是正六边形。
' 3
Tresca准则特点：
1、只考虑一个主剪应力；
2、主应力大小顺序已知
Tresca
时，表达式简单，使用 方便，若主应力大小顺
序未知则表达式过于复
杂；
Mises 3、未考虑中间主应力影
响且不能考虑材料摩擦
' 1
︵。︵2'
性质。
12
3.2.2 Mises破坏准则
' 2
L-D准则
' 3
︵。︵
M-C准则
D-P准则
' 1
20
3.3.4 SMP破坏准则
公式：
ff
I1 I 2 I3
kf
0
或
ff
( 2 3)2 23
(3 1)2 1 3
( 2 1)2 21
kf
0
其图形也是光滑的，外接M-C准则六角形的六个角点。
SMP准则
M-C准则
︵。︵
21
3.4 统一强度理论
3
)在
平面投影（x ,y ） 11
（x ,y ）（x ,y ）
22
22
则：
x x1 x2 x3
y y1 y2 y3
︵。︵
1
8
(1,0,0，)先投影 平面，再投影oxy，可得
x1 1 2 / 3 cos 30 1 2 / 2 y1 1 2 / 3 cos120 1 / 6
同理可得(0,
' 3
' 1
︵。︵
17
2
（1）由于土的强度随 静水压力增大而提高， 故M-C准则破坏面为一 个不等角六棱锥面， 其中心线与L线重合， 如下图所示。 （2）M-C强度理论优 点在于考虑静水压力 对强度的影响；最大 缺陷是没有考虑中间 主应力影响。
1
3
破坏面
︵。︵
18
3.3.2 广义Mises破坏准则
x
2 2
s1
s3
y 2s2 s1 s3 3(s1 s3 )
6
6
因 m 0，（2） 式变成
s1 s3 c cos s1 s3 sin
2
2
将（1）带入上式，得
︵。︵
16
x c cos sin y
2
6
若 2
1
，则上式方程可表示图中AB段.其他
3
情况可得该图中的其他线段
' 2
A
B
x
（2）主应力空间：以主应力为坐标轴形成的空间
（3）应力点：应力空间中的点，可以表示物体任一点的应力状 态
（4）应力路径：应力点的运动轨迹，用来表示一点应力状态的 变化
（5）屈服面：应力空间中假设曲面，当物体中的一点应力落在 其所包含的区域内时，材料处于弹性状态，在曲面上的点表 示材料已发生或将要发生塑性变形
2 xy
s1s2s3
由三式可知，(1, 2 , 3 ) (I1, I2 , I3 ) (I1, J2 , J3 )
这三组量相互确定，都可表示一点的应力状态，强度条件可以写成
f f (I1, J2 , J3, k f ) 0
︵。︵
6
3.1.3 第三种形式
（1）基本概念：等倾线L，偏平面1 2 3 3r
J
' 2
2
33
1 2 2 2 3 2 3 12
p
1 3
1
2
3
m
这样， p,
q,
也表示一点应力状态，则
︵。︵
ff
( p, q,
,kf
)
10
0
3.2 经典强度理论
• 应用范围：
1）无摩擦的金属材料 2）假设抗拉强度等于抗压强度
3.2.1 Tresca破坏准则
假设，材料破坏时取最大剪应力，即
max
平面
1 2 3 0
（2）设主应力空间三坐标单位基矢量 e1，e2，e3，则任一点应力
矢量OP为 OP 1e1 2e2 3e3
等倾线L的单位矢量n为
1
1
1
n 3 e1 3 e2 3 e3
︵。︵
7
OP在等倾线上的分量OP’’为静水应力分量，其大小为
OP''
OP • n
1 3
(1
来源：莫尔－库伦破坏准则的尖端和顶角使计算复杂，收敛 缓慢。为此，在Mises破坏准则基础上考虑静水压力的影响。
公式：
ff aI1 J2 k 0
参数：
a sin
3 3 sin2
k 3c cos
3 3 sin2
（1）可以证明，其破坏面为M-C六边形锥体的内切圆锥。 （2）考虑中间主应力及静水压力对剪切屈服或强度影 响，但未考虑抗拉强度不同。
意义：用统一的力学模型，数学表达来表述各种不同材 料的强度。实质就是将各种理论统一起来。
3.4.1经典强度理论简评
应力状态分析表明，主剪应力与主应力之间的关系，以
及主剪应力面上的法向应力分别为
13
1 2
1
3
,
13
1 2
(1
3)
12
1 2
1
2
12
1 2
(1
2)
23
1 2