2016年福建省普通高中毕业班质量检查1 理科数学试题答案及评分参考2评分说明：31．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，4 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．52．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未6 改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确7 解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 83．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 94．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．10一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 11 （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C12（7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 13二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．14（13）0.3 （14）3- （15）5- （16）26315三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步16 骤．17（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础18 知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．19解法一：（Ⅰ）因为BCD S △即1sin 2BC BD B ⋅⋅= ··· 2分20又因为3B π=,1BD =，所以4BC = ． ············ 3分 21在△BDC 中,由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅, 5分22即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得CD = ·······6分 23（Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠， 24又AC =sin 2sin AC CDθθ=， ········· 7分 25所以2cos CD θ=． ···················· 8分26在△BDC 中, 22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-， 27由正弦定理得，sin sin CD BDB BCD =∠，即12cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-， 10分28化简得2cos sin(2)3θθπ=-， 29于是2sin()sin(2)23θθππ-=-． ·············· 11分30因为02θπ<<，所以220,222333θθπππππ<-<-<-<， 31所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π, 32解得==618θθππ或，故=618DCA DCA ππ∠∠=或． ······ 12分33解法二：（Ⅰ）同解法一．34（Ⅱ）因为DA DC =， 35所以A DCA ∠=∠． 36 取AC 中点E ，连结DE ，37所以DE AC ⊥． ····················· 7分38设DCA A θ∠=∠=，因为AC =2EA EC ==． 39在Rt △CDE中，cos CE CD DCA ==∠ ········· 8分40以下同解法一．41（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角42 等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满43 分12分．44 解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=， 45由余弦定理得，22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，46∴1AB ，…………………………………………1分 47∴22211BB AB AB =+，48∴1AB AB ⊥．………………………………………2分49又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =， 50∴AC AB ⊥， 51又∵1ACAB A =，521B∴AB ⊥平面1AB C ． ··················· 4分 53又∵1B C ⊂平面1AB C ，54∴AB ⊥1B C ． ······················ 5分 55（Ⅱ）∵111,2AB AB AC BC ===， 56∴22211B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ············ 6分57如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直58 角坐标系，59···························· 7分60则()(()()1000,0,100010A B B C ，，0，，，，，， 61∴()()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ············· 8分 62设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，63由10,0,BB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得x y == 64∴平面1BCB 的一个法向量为65 )=n ． ……………………9分66∵()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-， 67……………………………………………………………………………10分68∴111cos ,35||||AC AC AC ⋅<>===n n n ，….……………11分691∴1AC 与平面1BCB． ········ 12分 70解法二：（Ⅰ）同解法一．71（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，72 则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角． ··········· 6分73由（Ⅰ） 知，1AB AB ⊥，1AB =，1AB AC ==，12B C =， 74∴22211AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥， 75 又∵ABAC A =，∴1AB ⊥平面ABC ，··········· 7分 76∴1111113326B ABC ABC V S AB AB AC AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△． ····· 8分77取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C ==，∴1PB BC ⊥．78又在Rt ABC △中，1AB AC ==，∴BC =BP =， 79∴12PB ===， 80∴1112B BC S BC B P =⨯=△． ················ 9分 81∵11A BCB B ABC V V --=，82∴1136BCB S AH ⋅=△，即1326AH ⨯=，∴7AH =． · 10分83∵1AB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AB BC ⊥，841三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==，85∴111AB B C ⊥，∴1AC == ········ 11分86在1Rt AHC △中，11sin AH AC H AC ∠===， 87所以1AC 与平面1BCB所成的角的正弦值为35． ······ 12分 88（19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算89 求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化90 思想．满分12分．91解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，92则220210019()495C P M C ==． ·················· 4分93（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 94当38a =时，384152X =⨯=； 95当39a =时，394156X =⨯=； 96当40a =时，404160X =⨯=； 97当41a =时，40416166X =⨯+⨯=； 98当42a =时，40426172X =⨯+⨯=．99 所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． ······· 6分100故X 的分布列为：101102 ···························· 8分10311121()1521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以．· 9分 104 （ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为105 380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ·· 10分106所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元． ···· 11分107由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．108 因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． ········ 12分109（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基110 础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与111 整合思想等．满分12分． 112解法一：(Ⅰ)将2px =代入22y px =，得y p =±，所以2ST p =， ·· 1分 113又因为90SPT ∠=，所以△SPT 是等腰直角三角形，114所以SF PF =，即32p p =-， 115解得2p =，116所以抛物线2:4E y x=，…………………………………………3分117此时圆P =118所以圆P 的方程为()2238x y -+=． ··············· 4分119(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，120依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-． ···········5分 121（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，()3M ±， 122①当3x=+24y x =，得()2y =±．123不妨设()()32,32A B ++-，124则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-即AF BF ⊥．125②当3x =-同理可得，AF BF ⊥．………………….6126 分127（ⅱ）当直线l 斜率存在时，因为直线l 与抛物线E 交于,A B 128 两点，129所以直线l 斜率不为零，01x ≠且00y ≠． 130因为l MF ⊥，所以1l MF k k =-，131所以01l x k y -=，…………………………………………………..7分 132直线()00001:x l y x x y y -=-+． 133由()200004,1y x x y x x y y ⎧=⎪-⎨=-+⎪⎩得，2220000004444011y x y x y y x x +--+=-- ， ··· 8分 134即200004204011y x y y x x --+=--，所以001212004204,11y x y y y y x x -+==--， ·· 9分 135所以()()121211FA FB x x y y ⋅=--+=2212121144y y y y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭····· 10分136()()()222221212121212123111641642y y y y y y y y y y y y ++=-++=-++137()()()22000220005143061111x y x x x x --=-++---()()()()()2220000020514165111x y x x x x --+-+--=- 138()2200020244441x x y x ---=-()()220002046101x y x x -+-+==-，139所以AF BF ⊥． ······················ 12分140解法二：(Ⅰ)同解法一．141 (Ⅱ)设()00,M x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-， （*） 5分 142设()22121212,,,44y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()222100211,,,4y y FM x y AB y y ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，1432212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ·········· 6分144由于FM AB ⊥，//MA MB ，145所以()()()()22210021221202001010,40.44y yx y y y y y x y y x y y ⎧--+-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ········ 7分 146注意到12y y ≠，()()()()()1200120120140,140.2y y x y y y y y y x +-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ····· 8分 147由（1）知，若01x =，则00y =，此时不满足（*），故010x -≠，148从而（1），（2）可化为001212004204,11y x y y y y x x -+==--． ····· 9分 149以下同解法一.150 （21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理151 论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整152 合思想、数形结合思想等．满分12分．153解法一：（Ⅰ）因为()()111f x a x x '=->-+，()e 1x g x '=-， ······ 2分 154依题意，()()00f g ''=，解得1a =， ·············· 3分155所以()111f x x '=-+1xx =+，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>． 156故()f x 的单调递减区间为()1,0-， 单调递增区间为()0,+∞． ·· 5分157（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．158所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 159设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-160则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥， ········· 6分 161 （ⅰ）当1k =时，因为0x ≥，所以()11201F x x x '++-+≥≥（当且仅当0x =时等号成立）， 162此时()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥．7分163 （ⅱ）当1k <时，由于()0f x ≥，所以()()f x kf x ≥． ······· 8分164 由（ⅰ）知()()0g x f x -≥，所以()()()g x f x kf x ≥≥，故()0F x ≥，即()()g x kf x ≥．165 ···························· 9分 166（ⅲ）当1k >时， 令()()e 11x k h x k x =+-++，则()()2e 1x k h x x '=-+， 167显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，又())1010,110h k h ''=-<=->， 168所以()h x '在()1上存在唯一零点0x ， ········· 10分169 当()00,x x ∈时，()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减，170 从而()()00h x h <=，即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减，171 从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． 11分172 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··········· 12分 173解法二：（Ⅰ）同解法一．174 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．175 所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 176设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-177 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥()11x x k x =+-+， ··· 6分 178（ⅰ）当1k ≤时，()0F x '≥在[)0,+∞恒成立，所以()F x 在[)0,+∞单调递增． 179所以()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ············· 9分 180 （ⅱ）当1k >时，由（Ⅰ）知，当1x >-时，e 1x x +≥（当且仅当0x =时等号成立），181 所以当01x <<时，e 1x x ->-+，1e 1x x <-． 182 所以1()e 1(1)e 111x x kx F x k x x '=---=--++ 183 1111kx x x <---+11x kx x x =--+()211()11k k x x k x -+-+=-． ··· 10分 184 于是当101k x k -<<+时，()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递减. 185 故当101k x k -<<+时，()(0)0F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．11分 186 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··········· 12分 187 解法三：（Ⅰ）同解法一．188 （Ⅱ）（ⅰ）当0k ≤时，由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．189 所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥，即()0g x ≥．190 所以()0kf x ≤，()0g x ≥，()()g x kf x ≥． ············ 6分 191（ⅱ）当0k >时，192设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11x k F x k x '=+-++， 193 令()()h x F x '=，则()()2=e 1x k h x x '-+．194 显然()h x '在[)0,+∞上单调递增． ·············· 7分 195 ①当01k <≤时，()()'010h x h k '=-≥≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h =≥；196 故()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥．197 ···························· 9分198②当1k >时，由于())1'010,'110h k h =-<=->，199所以()h x '在()1上存在唯一零点0x ， ········· 10分200 当()00,x x ∈时，()0,h x '< ()h x 单调递减，201 从而()()00h x h <=，即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减，202 从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． 11分203 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··········· 12分 204请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题205计分，作答时请写清题号．206 （22）选修41-：几何证明选讲207 本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，208 考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分． 209A E解法一：（Ⅰ）连结DE ，因为,,,D C E G 四点共圆，则ADE ACG ∠=∠．2分 210 又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线， 211所以点,D E 分别是,BC AC 的中点，故DE AB ． ·········· 3分 212 所以BAD ADE ∠=∠， ······················ 4分213 从而BAD ACG ∠=∠． ······················ 5分 214（Ⅱ）因为G 为AD 与BE 的交点，215 故G 为△ABC 的重心，延长CG 交AB 于F ，216 则F 为AB 的中点，且2CG GF =． ················ 6分 217在△AFC 与△GFA 中，因为FAG FCA ∠=∠，AFG CFA ∠=∠， 218所以△AFG ∽△CFA ， ·················· 7分219 所以FA FG FC FA=，即2FA FG FC =⋅．………………………………………………………9分 220 因为12FA AB =，12FG GC =，32FC GC =，221所以221344AB GC =，即AB =， 222又1GC =，所以AB =． ··················· 10分223 解法二：（Ⅰ）同解法一． ·················· 5分 224(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠， 225因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ·········· 6分226 所以ABD △∽CGE △，所以AB AD CG CE =， ……………………………………………7分 227由割线定理，AG AD AE AC ⋅=⋅， ················ 9分 228 又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心，229 所以23AG AD =,又=2=2AC AE EC ， 230 所以222=23AD EC，所以AD CE= 231所以AB CG =1CG =，所以AB = ········ 10分 232 （23）选修44-；坐标系与参数方程233 本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解234 能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 235解法一：（Ⅰ）由3cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得2219x y +=， 236 即C 的普通方程为2219x y +=． ················ 2分 237由sin 4ρθ⎛π⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=，………（＊） ···· 3分 238将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入（＊），化简得2y x =+， ·········· 4分239 所以直线l 的倾斜角为4π． ················· 5分 240 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，点()0,2P 在直线l 上， 可设直线l 的参数方程为cos ,42sin 4x t y t π⎧=⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩（t 241 为参数），242即,222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， ················ 7分243 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=． ········ 8分244(245271080∆=-⨯⨯=>．245 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，246则1212270,05t t t t +=<=>，所以120,0,t t << ······ 9分 247 所以()1212PA PB t t t t +=+=-+=········ 10分 248 解法二：（Ⅰ）同解法一. ··················· 5分 249 （Ⅱ）直线l 的普通方程为2y x =+.250 由222,99y x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得21036270x x ++=， ········· 7分 251 于是236410272160∆=-⨯⨯=>.252 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12180,5x x +=-<1227010x x =>，所以120,0x x <<， 253···························· 8分254故12120|0||5PA PB x x x x +=--=+=. 10分 255 （24）选修45-：不等式选讲256本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、257推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．258 解法一：（Ⅰ）（ⅰ） 当1x -≤时，原不等式可化为122x x --<--，解得1x <-，259 此时原不等式的解是1x <-； ················ 2分260 （ⅱ）当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-， 261此时原不等式无解； ··················· 3分262 （ⅲ）当12x -≥时，原不等式可化为12x x +<，解得1x >， 263此时原不等式的解是1x >； ················ 4分264 综上，{}11M x x x =<->或． ··············· 5分265 （Ⅱ）因为()1f ab ab =+()()1ab b b =++- ········· 6分 266 1ab b b +--≥··········· 7分 267 11b a b =+--． ··········8分 268 因为,a b M ∈，所以1b >，10a +>， ··········· 9分269 所以()11f ab a b >+--，即()()()f ab f a f b >--． ···· 10分 270解法二：（Ⅰ）同解法一． 271（Ⅱ）因为()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤， 7分 272 所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+，273 即证221ab a b +>+， ··················· 8分 274即证2222212a b ab a ab b ++>++， 275即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->． ······ 9分276 因为,a b M ∈，所以221,1a b >>，所以()()22110a b -->成立，277 所以原不等式成立． ·················· 10分 278279。