(2)f ′(t)＝12t2－2at＋a2，
令 f ′(t)＝0，即12t2－2at＋a2＝0，
解得 t＝(2－ 2)a 或 t＝(2＋ 2)a.
∵0<t≤1，a>1，∴t＝(2＋ 2)a 应舍去．
若(2－
2)a≥1，即 a≥2－1
＝2＋ 22
2时，
∵0<t≤1，∴f ′(t)≥0.
∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S 的最大值是
a
(k 为常数)；
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
；
a
bf(x)dx
(3)c f(x)dx＋b f(x)dx＝
a
(其中 a<c<b)
a
c
4．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F ′(x)＝f(x)，那么b f(x)dx＝ F(b)－F(a)．这个结论叫
a
f(x)dx 在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数．
一般情况下(如下图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是 a
介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x＝a、x＝b 之间各 部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴 下方的面积取负号．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)b kf(x)dx＝
第四节
定积分与微 积分基本定理(理)
重点难点 重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定 积分，用微积分基本定理求简单的定积分． 难点：用定义求定积分
知识归纳
1．定积分的定义
如果函数 f(x) 在区间[a， b]上连续 ，用分点 a＝
x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小 区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ζi(i＝1,2，…，
32·n－n 1＝32.
[点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤． 你能利用定积分的定义求直线 x＝1，x＝2，y＝0 和 曲线 y＝x3 围成的图形的面积吗？答案：145.
定积分的几何意义
[例 2] 利用积分的几何意义计算：1 16－x2dx＝ -4
________. 分析：用积分的几何意义计算，关键是弄清被积函数
故
S＝t (－ 0
x2＋2ax)dx－12
·t·t2＋12(－
t2＋2at－t2)×(a
－t)
＝ －13x3＋ax2t0－12t3＋(－t2＋at)×(a－t)
＝－13t3＋at2－12t3＋t3－2at2＋a2t ＝16t3－at2＋a2t. ∴f(t)＝16t3－at2＋a2t (0<t≤1)．
[答案] D
[解析] f(x)＝1x1t dt＝lnt|x1＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10 ＝11，由 lnx<11 得，0<x<e11.
5．已知函数 y＝x2 与 y＝kx(k>0)的图象所围成的封
闭区域的面积为92，则 k 等于( )
A．2
B．1
C．3
D．4
[答案] C
[解析] 由yy＝ ＝xk2x 消去 y 得 x2－kx＝0， 所以 x＝0 或 x＝k， 则所求区域的面积为
答案：D
定积分的性质与微积分基本定理
[例 3] 求下列定积分
(1)2x2＋
1
x14dx；
(2)9 x(1＋ x)dx； 4
(3) 1 (cosx＋ex)dx； -π
(4)
0π2cosx2－Fra biblioteksinx2
2dx.
解析：(1)2x2＋
1
x14dx＝
13x3－13x－3
21＝281.
求下列定积分： (1)2(x2＋x)dx＝________；
利用定义求定积分
[例 1] 用定积分的定义求由 y＝3x，x＝0，x＝1，y ＝0 围成的图形的面积．
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成 n 个小区间 i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)．其长度为 Δx＝n1，把曲边梯形 分成 n 个小曲边梯形，其面积记为 ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面 积，ΔSi＝fi－n 1Δx＝3·i－n 1·n1＝n32(i－1)，(i＝1,2，…，n)．
n
n
(3)作和：ΔSi＝
i＝1
i＝1
n32(i－1)＝n32[1＋2＋…＋(n－1)]
＝32·n－n 1.
n
(4)求极限：S＝lim n→∞i＝1
n32(i－1)＝nli→m∞
对定义的几点说明： (1)定积分bf(x)dx 是一个常数．
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①均匀分割：n 等分区间[a，b]； ②近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]；
③求和： n f(ξi)·b－n a；
i＝1
④取极限：bf(x)dx＝li m
a
n→∞
n f(ξi)·b－n a.
所对应的几何图形，画好草图．
解析：由积分的几何意义知：1 16－x2dx 表示以 -4
(0,0)点为圆心，r＝4 为半径的圆在 x 轴上方部分的面
积，所以1 -4
16－x2dx＝12×π×42＝8π.
答案：8π
• 点评：理解被积函数的几何意义，是解决 这类问题的突破口．
(2010·深圳市调研)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x ＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为( )
(3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算， 是求定积分常用的方法．
(4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方 法．
二、解题技巧 1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求 和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等 案例，体会定积分的基本思想方法． (2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足 f ′(x)＝f(x)的函数 F(x)，利用求导运算与求原函数运算互 为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的 四则运算法则从反方向上求出 F(x)．
a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了
方便，我们常常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ab，
即b
f(x)dx＝F(x)|ab＝
F(b)－F(a)．
a
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出 草图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似 代替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的 极限思想．
n
n
n)，作和式f(ζi)Δx＝
i＝1
i＝1
b－n af(ζi)，当
n→∞时，此和式
无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]
上
的
定
积
分
，
记
作
b
a
f(x)dx
，
即
b
a
n
f(x)dx＝ lim
n→∞ i＝1
b－a n
f(ζi)，这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a， b]叫做积分区间，函数 f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变 量，f(x)dx 叫做被积式．此时称函数 f(x)在区间[a，b]上 可积．
解析：先画出各曲线如图．
易求得点 A(3，－1)，B(1,1)，故所围成区域的面积 为
S＝1[ 0
x－(－13x)]dx＋31[(2－x)－(－13x)]dx
＝(23x
1 2
＋16x2)|10＋(2x－13x2)|13＝56＋43＝163.
答案：163
综合应用
[例 5] 如图所示，已知曲线 C1：y＝x2 与曲线 C2：y ＝－x2＋2ax(a>1)交于点 O、A，直线 x＝t(0<t≤1)与曲线 C1、C2 分别相交于点 D、B，连结 OD、DA、AB.
解析：由方程组yy＝＝x22x，＋3， 可得 x1＝－1，x2＝3.
故所求图形面积为 S＝3 (2x＋3)dx－3 x2dx
-1
-1
＝(x2＋3x)|－3 1－13x3|3－1＝332.
答案：332
(2011·菏泽期末)曲线 y＝ x，y＝2－x 及 y＝－13x 所围成图形的面积为________．
解析：当 x∈[0，π2]时，y＝sinx 与 y＝cosx 的图象的 交点坐标为π4， 22，作图可知曲线 y＝sinx，y＝cosx 与 直线 x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分： 一部分是曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π4所围
成的平面区域的面积；另一部分是曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝π4，x＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部 分的面积相等，结合定积分定义可知选 D.
k0(kx－x2)dx＝(12kx2－13x3)|0k＝92. 即12k3－13k3＝92，解得 k＝3.故选 C.
(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简， 再积分．
(4)利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数 形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
2.由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、 y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：
S＝b[f(x)－g(x)]dx(如下图)． a
f(1)＝a2－a＋16.
若(2－
2)a<1，即
2＋ 1<a< 2
2时，
当 0<t<(2－ 2)a 时，f ′(t)>0，