k
12 EI h3
由截面平衡条件：
24EI k 3 h
k 24EI m m h3
m h3 T 2 2 EI
练习10.1：结构柔度系数或刚度系数的求解。 ⑴
3l 16
1
m EI
5l 32
l 2
1
l 2
l 2
l 2
l 2
1 1 l l 2 3l 1 5l 1 l 2 7l 7l 3 [ ( )] EI 2 2 2 3 16 3 32 EI 8 96 768EI
y (t ) y cos t
y y

y(t ) Asin(t ) (10 4)
T
v
sin t (10 3)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A

0
t

v
sin t
T t
0
A sin t
频率和周期的讨论：
T 2
m st 2 k g
⑴ 只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； ⑵ Ｔ 与m 的平方根成正比，与 k 成反比，据此可改变周期；
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
例10-1、计算图示结构的频率和周期。 m
EI
l 2
1
l 2
1

2 EI
2 l l3 1 l l ( ) ( ) 3 4 48EI 2 4 2
y ( 0 ) y 设 t = 0 时： (0) v y
C2 y v C1
k
（d）式可以写成
y (t ) y cos t
由式可知，位移是由初位移 y 引起的余弦运动和由初速度

v
sin t (10 3)
令
v 引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动, v y A sin , A cos
每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图10-9 b 和 c中分别 给出结点位移参数 y1 和θ1 相应的形状函数φ1(x) 和φ2(x)。 梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：
y( x) y1 1 ( x) 1 2 ( x) y4 7 ( x) 4 8 ( x)
§10-1 动力计算的特点和动力自由度
1、结构动力计算的特点
⑴ 动力荷载与静力荷载的区别 “动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类
荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速 度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 “静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。或 者荷载虽随时间变化但变得很慢，对结构的影响与静力荷载比相差甚徵，这 类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，仍属于静力荷载。由它所引起的 内力和变形都是确定的。 ⑵ 动力计算与静力计算的的区别 两者都是建立平衡方程，但动力计算，根据达朗伯原理利用动静法，建 立的是形式上的平衡方程，力系中包含了惯性力；考虑的是瞬间平衡，荷载、 内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。 动力计算的内容：研究结构在动力荷载作用下的动力反应（内力、位移、 速度、加速度及惯性力等）的计算原理和方法。
FP (t)
FP (t)
t
简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载
t
⑵ 冲击荷载： 短时内急剧增大或急剧减小。（如爆炸荷载） FP FP (t)
FP tr FP
t
tr
t
⑶ 随机荷载： 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。称为非确定性荷载，或称为
随机荷载（如地震荷载、风荷载）。
3、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算 困难，常作简化如下： ⑴ 集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限 自由度问题。
(10－3)式改写成
y(t ) Asin(t ) (10 4)
2
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A 和 可由下式确定
振幅 相位角
v 2 A y y tg 1 v
10 5 a、b ) (
l 4
1 48EI 2 ml 3 , T 2 3 m ml 48EI
H
例10-2、图示结构杆顶有重物，其重量为W，分别求水平和竖向振动的周期。
W 1 1
⑴ 计算水平振动周期
V
A,E,I l
E,I
E,A
1 H EI
3 2 l l l ( ) ( l ) 3 2 3EI
通过以上步骤，梁即转化为具有八个自由度的体系。可看出，有限元法 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点。
§10-2 单自由度体系的自由振动
自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t = 0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m 获得初位移y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于：
l
WH Wl 3 TH 2 2 g 3EIg
TV 2 st 2 g Wl EAg
⑵ 计算竖向振动周期
st
Wl EA
例10-3、计算图示刚架的频率和周期。 m EI1=
I I h
6 EI h2 6 EI h2
12 EI h3
1
6 EI h2 6 EI h2
m 获得初速度y
1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼 ……….
1、自由振动微分方程的建立
方法：达朗伯原理 应用条件：微幅振动（线性微分方程）
第 10 章
结构动力计算基础
高耸结构
结构特点
•风荷载起控制作用； •无围护结构，构件的维护保养很重要； •施工技术： 对于钢结构，分段制作、高空吊装和拼接技术； 对于钢筋混凝土结构，模板提升、混凝土垂直运输技术； •与周围环境协调，比如可能需安装航空障碍标志； •主要承受的风荷载、地震荷载有动力性质，需考虑结构振动特性； •基础不同于一般结构，会出现拔力甚至起控制作用。
m m >> m梁 m
I
m
I
2I
厂房排架水平振动 时的计算简图 单自由度体系
y2 y1
2个自由度
2个自由度 自由度与质量数不一定相等
m1
m2
2个自由度
m3
4个自由度
v(t)
u(t)
θ(t)
水平振动时的计算体系
多自由度体系
构架式基础顶板简化成刚性块
m ( x)
无限自由度体系
x
y(x,t)
⑵ 广义坐标法： 假定结构的位移曲线用一系列已知且满足边界条件的位移函数之和来表 示。如具有分布质量 m 的简支梁是一个具有无限自由度的体系，简支梁的挠 n 度曲线可用三角级数来表示： k x
ky
y y y 于柱弹性力的影响，质点m 沿水平 方向产生自由振动，在任一时刻 t
(t ),与加速度 反向；弹性力 ky (t )与位移y 反向。 惯性力 my y
动力平衡法（达朗伯原理）：考虑质点上力系的平衡
ky 0 (10 1) my
由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称 刚度法。
⑵ 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。 y m (t ) FI (t) 惯性力： FI (t ) my
y(t ) FI (t ) my
y 0 my
k
1 k
可得与刚度法相同的方程
刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。
据此可得：ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
⑴ 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。 如图所示的悬臂立柱顶部有一重物，质量为m。设柱本身质量比 m 小得 多，可忽略不计。因此，体系只有一个自由度。 y y 设由于外界干扰，质点 m 离开 m m 静止的平衡位置。干扰消失后，由
弹簧模型
k
质点的水平位移为 y (t)。 my 取质量 m 在振动中位置为 y 时的状态作隔离体，其上作用有
-A
3、结构的自振周期
由式
A

y(t ) A sin(t ) 及图，可见位移方程是一个周期函数。 2 y T 周 期： T
t
工程频率： f

0
1 ( Hz ) T 2
-A
2 圆频率： 2f T
计算频率和周期的几种形式：
k 1 g g m m W st
m
EI
l 2
m
EI
l 2
l 2
m
l 2
l 2
l 2
解：求柔度系数δ
l/
8
1
l/
8
l3 1 48EI
7l 3 2 768EI
l/
3
2
192 EI 1
l/ l 8
3
1
1 m 1

48EI ml3
1 1 1 768 l EI l 2 l 11 l 192EI l3 2 3 ) 1 ( ( 3 ) 3 EI 2 7 2ml2 3 8 m 3 8 ml 192 EI m 2 3