2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)文科数学 2018.7.1本试卷4页,23小题,满分150分.考试用时120分钟.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.=+i)32(i ( )A .2i 3-B .2i 3+C .2i 3--D .2i 3+- 1.【解析】i 233i 2i)32(i +-=-=+,故选D .2.已知集合}7,5,3,1{=A ,}5,4,3,2{=B ,则=B A I ( )A .}3{B .}5{C .}5,3{D .}7,5,4,3,2,1{ 2.【解析】}5,3{=B A I ,故选C .3.函数2)(x e e x f xx --=的图像大致为( )ABC D3)x ,即)(x f 为奇函数,排除A ;由01)1(>-=e e f 排除D ;由)1(1)1)4(f e e e e f =->-=排除C ,故选B .4.已知向量,1=,1-=⋅,则=-⋅)2(( )A .4B .3C .2D .0 4.【解析】3122)2(2=+=⋅-=-⋅b a a b a a ,故选B .5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )A .6.0B .5.0C .4.0D .3.05.【解析】记2名男同学为b a ,和3名女同学为C B A ,,,从中任选2人:,,,,,,,,AB bC bB bA aC aB aA abBC AC ,,共10种情况.选中的2人都是女同学为:BC AC AB ,,,共3种情况,则选中的2人都是女同学的概率为3.0,故选D .6.双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .x y 2±=B .x y 3±=C .x y 22±= D .x y 23±= 6.【解析】离心率3322222=+=⇒==a b a a c a c e ,所以2=ab,渐近线方程为x y 2±=,故选A . 7.在ABC ∆中,552cos=C ,1=BC ,5=AC ,则=AB ( ) A .24 B .30 C .29 D .52 7.【解析】5312cos 2cos 2-=-=C C , 由余弦定理得24cos 222=⋅⋅-+=C AC BC AC BC AB故选A . 8.为计算10019914131211-++-+-=ΛS ,设计了右侧的 程序框图,则在空白框中应填入( )A .1+=i iB .2+=i iC .3+=i iD .4+=i i8.【解析】依题意可知空白框中应填入2+=i i .第1次循环:3,21,1===i T N ;第2次循环:5,4121,311=+=+=i T N ;Λ;第50次循环:101,10014121,991311=+++=+++=i T N ΛΛ,结束循环得10019914131211-++-+-=ΛS ,所以选B .9.在正方体1111D C B A ABCD -中,E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A .22 B .23 C .25 D .279.【解析】如图所示,因为AB CD //,所以异面直线AE 与CD 所成角即AE 与AB 所成角,其大小等于EAB ∠, 令正方体的棱长为2,则2=AB ,5=EB ,所以25tan ==∠AB EB EAB ,故选C . 10.若x x x f sin cos )(-=在],0[a 上是减函数,则a 的最大值是( )A .4π B .2πC .43πD .π10.【解析】因为)4cos(2sin cos )(π+=-=x x x x f 在区间]43,4[ππ-上是减函数,所以a 的最大值是43π,故选C .11.已知21,F F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若21PF PF ⊥,且ο6012=∠F PF ,则C 的离心率为( )A .231-B .32-C .213- D .13- 11.【解析】不妨令椭圆C 的两个焦点在x 轴上,如图所示.因为21PF PF ⊥,且ο6012=∠F PF ,所以c P F =2,c P F 31=.由a c P F P F 2)31(21=+=+,所以离心率13312-=+==a c e ,故选D .12.已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数,满足)1()1(x f x f +=-.若2)1(=f ,则=++++)50()3()2()1(f f f f Λ( )A .50-B .0C .2D .5012.【解析】因为)()(x f x f -=-,所以)1()1(--=-x f x f ,则)1()1(--=+x f x f ,)(x f 的最小正周期为4=T .又2)1(=f ,0)0()2(=-=f f ,2)1()3(-=-=f f ,0)0()4(==f f ,所以2)2()1()50()49()]4()3()2()1([12)50()3()2()1(=+=+++++=++++f f f f f f f f f f f f Λ,选C .D 1AB CDA 1C 1 B 1 E二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线x y ln 2=在点)0,1(处的切线方程为 . 13.【解析】2|21='⇒='=x y xy ,则曲线x y ln 2=在点)0,1(处的切线方程为22-=x y . 14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+05032052x y x y x ,则y x z +=的最大值为 .14.【解析】可行域为ABC ∆及其内部,当直线z x y +-=经过点)4,5(B 时,9max =z .15.已知51)45tan(=-πα,则=αtan . 15.【解析】因为51tan 11tan )4tan()45tan(=+-=-=-ααπαπα,所以23tan =α. 16已知圆锥的顶点为S ,母线SB SA ,互相垂直,SA 与圆锥底面所成角为ο30,若SAB ∆的面积为8,则该圆锥的体积为 .16.【解析】如图所示,因为821212==⋅=∆SA SB SA S SAB ,所以4=SA . 又SA 与圆锥底面所成角为ο30,即ο30=∠SAO , 则底面圆的半径32=OA ,2=SO ,圆锥的体积为ππ821231=⨯⨯=V .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知71-=a ,153-=S . (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值.17.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,则由71-=a ,153313-=+=d a S 得2=d ,ASBO所以922)1(7-=⨯-+-=n n a n ,即{}n a 的通项公式为92-=n a n ; (2)由(1)知n n n n S n 82)927(2-=-+-=,因为16)4(2--=n S n ,所以4=n 时,n S 的最小值为16-.18.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型,根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为17,,2,1Λ)建立模型①:t y 5.134.30ˆ+-=;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为7,,2,1Λ)建立模型②:t y5.1799ˆ+=. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.18.【解析】(1)将19=t 代入模型①:1.226195.134.30ˆ=⨯+-=y(亿元), 所以根据模型①得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为1.226亿元;将9=t 代入模型②:5.25695.1799ˆ=⨯+=y(亿元), 所以根据模型②得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为5.256亿元. (2)模型②得到的预测值更可靠.理由如下:答案一:从折现图可以看出,2010年至2016年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线t y5.134.30ˆ+-=的上下,2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加,这说明模型①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长.而2010年至2016年的数据对应的点紧密的分布在回归直线t y 5.1799ˆ+=的附近,这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长,所以模型②得到的预测值更可靠.年份答案二:从计算结果来看,相对于2016年的环境基础设施投资额为220亿元,利用模型①得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为1.226亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为5.256亿元的增幅明显更合理,所以模型②得到的预测值更可靠.19.(12分)如图,在三棱锥ABC P -中,22==BC AB ,4====AC PC PB PA ,O 为AC 的中点. (1)证明:⊥PO 平面ABC ;(2)若点M 在棱BC 上,且MB MC 2=,求点C 到平面POM 的距离. 19.【解析】(1)证明:连接OB ,PC PA =Θ,O 为AC 的中点,AC PO ⊥∴,4,22===AC BC AB Θ,222AC BC AB =+∴,即BC AB ⊥,221==∴AC OB , 又4,32==PB PO ,则222PB PO OB =+,即OB OP ⊥,O OB AC =I Θ,∴⊥PO 平面ABC ;(2)点C 到平面POM 的距离为d ,93832491313131=⨯⨯=⋅⨯=⋅=∆∆-PO S PO S V ABC OMC OMC P , 由余弦定理得OCM CM OC CM OC OM ∠⋅⋅-+=cos 222, 则3523169324=-+=OM , 由(1)知⊥PO 平面ABC ,得OM PO ⊥, 则315221=⨯⨯=∆OM PO S POM , 又POM C OMC P V V --=, 则55431938=⇒⋅=∆d d S POM , 所以点C 到平面POM 的距离为554.20.(12分)设抛物线x y C 4:2=的交点为F ,过F 且斜率为)0(>k k 的直线l 与C 交于B A ,两点,8=AB . (1)求l 的方程;(2)求过点B A ,且与C 的准线相切的圆的方程.ABCMOPACMOP20.【解析】(1)焦点F 为)0,1(,则直线)1(:-=x k y l ,联立方程组⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)1(2,得0)42(2222=++-k x k x k ,令),(),,(2211y x B y x A ,则222142kk x x +=+,121=x x . 根据抛物线的定义得8221=++=x x AB ,即64222=+kk ,解得1=k (舍去1-=k ), 所以l 的方程为1-=x y ;(2)设弦AB 的中点为M ,由(1)知3221=+x x ,所以M 的坐标为)2,3(, 则弦AB 的垂直平分线为5+-=x y ,令所求圆的圆心为)5,(m m -,半径为r ,根据垂径定理得341222152222+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m m AB r , 由圆与准线相切得3412212+-=+m m m ,解得3=m 或11=m .则所求圆的方程为:16)2()3(22=-+-y x 或144)6()11(22=++-y x .21.(12分)已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f . (1)若3=a ,求)(x f 的单调区间; (2)证明:)(x f 只有一个零点. 21.【解析】(1)3=a 时,)1(331)(23++-=x x x x f ,则36)(2--='x x x f , 由036)(2>--='x x x f 得),323()323,(+∞+--∞∈Y x ; 由036)(2<--='x x x f 得)323,323(+-∈x ,所以3=a 时,)(x f 的单调增区间为),323(),323,(+∞+--∞,减区间为)323,323(+-.(2)因为012>++x x 恒成立,所以要证明)(x f 只有一个零点等价于证明方程a x x x =++)1(323, 即证明直线a y =与曲线)1(3)(23++=x x x x g 只有一个交点. []0)1(32)1()1(3)32()1(9)12(3)1(9)(2222222222322>++++=++++=+++-++='x x x x x x x x x x x x x x x x x g所以)(x g 在R 上为单调递增的函数,所以直线a y =与曲线)(x g y =只有一个交点,得证.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为θθθ( sin 4cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数),直线l 的参数方程为t t y t x ( sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+=αα为参数) (1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为)2,1(,求l 的斜率.22.【解析】(1)消去参数θ,得C 的直角坐标方程为116422=+y x ; 消去参数t ,得l 的直角坐标方程为0cos 2sin cos sin =+-⋅-⋅ααααy x ; (l 的直角坐标方程也可写成:)2(2)1(tan παα≠+-=x y 或1=x .)(2)方法1:将l 的参数方程:t t y t x ( sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+=αα为参数)代入1164:22=+y x C 得: ()()16sin 2cos 1422=+++ααt t ,即()()08sin cos 24cos 3122=-+++t t ααα,由韦达定理得()ααα221cos 31sin cos 24++-=+t t , 依题意,曲线C 截直线l 所得线段的中点对应0221=+t t ,即0sin cos 2=+αα,得2tan -=α. 因此l 的斜率为2-.方法2:令曲线C 与直线l 的交点为),(),,(2211y x B y x A ,则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1164116422222121y x y x 得()()()()016421212121=+-++-y y y y x x x x ,其中4,22121=+=+y y x x . 所以204221212121-=--⇒=-+-x x y y y y x x ,即l 的斜率为2-.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)设函数25)(--+-=x a x x f .(1)当1=a 时,求不等式0)(≥x f 的解集; (2)若1)(≤x f ,求a 的取值范围.23.【解析】(1)1=a 时,215)(--+-=x x x f ,1-≤x 时,042215)(≥+=-+++=x x x x f ,解得12-≤≤-x ; 21<<-x 时,02215)(≥=-+--=x x x f ,解得21<<-x ; 2≥x 时,062215)(≥+-=+---=x x x x f ,解得32≤≤x ,综上所述,当1=a 时,不等式0)(≥x f 的解集为]3,2[-. (2)125)(≤--+-=x a x x f ,即42≥-++x a x , 又222+=+-+≥-++a x a x x a x , 所以42≥+a ,等价于42≥+a 或42-≤+a , 解得a 的取值范围为2|{≥a a 或}6-≤a .。