多期报酬： 第1天至第11天的简单报酬R11(10)=11.11/12.10－1=-8.18% 第1天至第11天的对数报酬r11(10)=ln(11.11)－ln(12.10)=-8.54%
13
年化报酬 (annualized)
通常投资报酬为20%，指年报酬为20%。 对多年的报酬和更短时期的报酬可以通过换算 而化成相应的年报酬，方便投资者对不同时期 长度的计算结果进行比较。 假定k年报酬Rt(k)，则年化的报酬为
Ch1 金融数据的统计分析
徐剑刚
1
1 金融数据的统计分析
1.1 金融价格变动和报酬 1.2 金融资产价格和报酬的模型 1.3 金融资产报酬的统计特性 1.4 金融资产报酬的其他经验规则
2
1.1 金融价格变动和报酬
资产价格 一天(单期)报酬 多天(多期)报酬 实例分析
3
资产价格
最早的研究分析资产价格或股价指数的行为，检 验市场有效性。 信息有效市场中资产价格的随机游动特征：
简单报酬 -0.04% -1.52% -0.20% -0.53% -1.54% -1.26% -0.18% 0.90% 对数报酬 -0.04% -1.53% -0.20% -0.53% -1.56% -1.28% -0.19% 0.89%
17
2002-12-4 2002-12-5 2002-12-6 2002-12-9 2002-12-10 2002-12-11 2002-12-12 2002-12-13
简单报酬 计算的投 资组合报 酬与对数 报酬相当 接近
1.2 金融资产价格和报酬的模型
股票价格的随机游动模型 债券的随机游动模型 随机游动模型与自回归模型的比较
18
股票价格的随机游动模型
假定对数股价 pt=Ln(Pt) 服从随机游动
pt = ϕ 0 + pt −1 + ηt
ηt ~ IID N (0, σ )
正态性检验：Jarque-Bera统计量
T T 2 ( s − 0) + (κ − 3) 2 ~ χ 2 (2) 6 24
30
中信指数报酬的直方图和描述性统计
240 200 160 120 80 40 0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 Series: RCITIC Sam ple 317 1419 Observations 1103 Mean Median Maxim um Minim um Std. Dev. Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability -0.019464 -0.005150 9.377550 -8.484307 1.556021 0.523328 9.224659 1831.066 0.000000
N
Rt (k) = ∏(1+ Rt−i+1) −1 R pt = ∑ wi Rit
i=1
k
i =1
对数报酬
rt (k ) = ∑ rt −i +1
i =1
k
⎛ N rit ⎞ rpt = ln ⎜ ∑ wi e ⎟ ⎠ ⎝ i =1
16
例：横断面加总
假设投资组合含有30％张江高科、40％深发展、30％民生银 行 投资组合天报酬
22
随机游动模型与自回归模型的比较
假定对数价格服从自回归AR(1)
pt = ϕ 0 + ϕ1 pt −1 + ε t
8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 -2.0 -4.0
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 154 163 172 181 190 199
6
相对价格变动
第t-1个交易日至第t个交易日的资产相 对价格变动：或百分比报酬
Pt − Pt −1 Rt = Pt −1
即一天(单期)简单报酬
总报酬
Pt 1 + Rt = Pt −1
7
对数报酬
连续复利(或对数)报酬rt 定义为总报酬(1+Rt )的 对数
rt = ln(1 + Rt ) Pt = ln Pt −1 = pt − pt −1 , Rt = e − 1 ≈ rt
pt = ϕ 0 + pt −1 + ηt
ηt ~ IID
N (0, σ 2 )
其均值和方差随时间而变
E ( pt p0 ) = p0 + ϕ 0t V ( pt p0 ) = σ 2t
25
随机游动模型与自回归模型的比较
假定对数价格的随机游动
pt = 0.01 + pt −1 + ε t
模拟的对数价格 26.0 21.0 16.0 11.0 6.0 1.0 -4.0
7.1
42.2
股票报酬是非正态，分布不对称， 较正态分布有厚尾巴
ε t ~ IID
N (0,1)
p0 = 0
模拟的对数价格
ϕ0=0.01,ϕ1=0.5
回复均值
23
1997.1.2-2003.9.9 深圳成指天报酬
.1 2 .0 8 .0 4 .0 0 -.0 4 -.0 8 -.1 2 250 500 750 1000 1250 1500
24随机游动ຫໍສະໝຸດ 自回归是平稳过程，平稳过程指过程的均值、 方差、协方差有限，不随时间而变 随机游动为非平稳过程
27
1.3金融资产报酬的统计特性
描述性统计 非正态性检验 非独立性、非线性性 实例分析：
28
描述性统计
样本均值 样本方差 偏度(skewness) 峰度(kurtosis)
1 T E (r ) = μ = ∑ rt T t =1
1 T var(r ) = σ = (rt − μ ) 2 ∑ T − 1 t =1
= rt + rt −1 +
上式表明多期对数报酬就是单期对数报酬之和
12
例
深圳发展银行 2002-11-29 2002-12-2 2002-12-3 2002-12-4 2002-12-5 2002-12-6 2002-12-9 2002-12-10 2002-12-11 2002-12-12 2002-12-13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 股价 12.10 11.62 11.76 11.79 11.64 11.64 11.57 11.43 11.16 11.06 11.11 -0.48 0.14 0.03 -0.15 0.00 -0.07 -0.14 -0.27 -0.10 0.05 -3.97 1.20 0.26 -1.27 0.00 -0.60 -1.21 -2.36 -0.90 0.45 -4.05 1.20 0.25 -1.28 0.00 -0.60 -1.22 -2.39 -0.90 0.45 绝对价格变动 简单报酬(%) 对数报酬(%)
wi是第i种资产的投资比重 对数报酬
⎛ N ⎞ ⎛ N rit ⎞ rpt = ln(1 + R pt ) = ln ⎜ ∑ wi (1 + Rit )⎟ = ln ⎜ ∑ wi e ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
用天报酬时
rpt ≅ ∑ wi rit
i =1
15
N
小结：报酬加总
加总 简单报酬 多期 横断面 （投资组合）
2
1 T s= ( rt − μ ) 3 σ 3 ∑ T − 1 t =1
1 T k= ( rt − μ ) 4 σ 4 ∑ T − 1 t =1
29
正态性检验
偏度系数 s＝0，分布对称
T ( s − 0) ~ N (0,1) 6
峰度系数描述分布的峰度或分布的尾巴
T (κ − 3) ~ N (0,1) 24
年化报酬[ Rt (k )] = [∏ (1 + Rt − j )]1/ k − 1 = [1 + Rt (k )]1/ k − 1
j =0 k −1
年化报酬[ Rt (k )] ≈
1 k
∏R
j =0
k −1
t− j
14
投资组合报酬：N种资产
简单报酬(横断面加总)
R pt =
∑wR
i =1 i
N
it
1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193
ε t ~ IID
N (0,1)
p0 = 0
序列有正漂移， 依时间增长
26
1998.5.4-2003.7.31 中信指数
7.40 7.30 7.20 7.10 7.00 6.90 6.80 6.70 6.60 6.50 316 616 916 1216 1515
Pt = Pt −1 + ε t ,
ε t为白噪声
Pt为t时资产价格， t为交易日(如一天) 研究中用到对数价格
4
一天(单期)报酬
常涉及资产价格变动 价格变动包括： 绝对价格变动 相对价格变动 对数价格变动，连续复利
5
绝对价格变动
第t-1个交易日至第t个交易日的 资产绝对价格变动： Dt= Pt － Pt－1 表示资产价值变动 Pt 为t时资产价格， t为交易日 (如一天)
股价 12.10 11.62 11.76 11.79 11.64 11.64 11.57 11.43 11.16 11.06 11.11
绝对价格变动
简单报酬(%)
对数报酬(%)
-0.48 0.14 0.03 -0.15 0.00 -0.07 -0.14 -0.27 -0.10 0.05
-3.97 1.20 0.26 -1.27 0.00 -0.60 -1.21 -2.36 -0.90 0.45