性 推论：某行(列)有公因子可提到行列式的外面 质 4. 若有两行(列)成比例，则行列式等于0
5. 若某一行(列)所有元素均为两元素之和，则行
列式可拆成两个行列式。
6. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。
展
行展开
n
D i j
aki Akj
k 1

0
i j
开
列展开
n
解： 因行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成。 即： a11a23a3i a4j，其中i、j只能是2,4的取值。 所以有两项：那么列标排列的逆序数为： t(1324)=1， t(1342)=2 所以,含有因子a11a23的两项为: -a11a23a32 a44， a11a23a34 a42
1 1 0 2
1 1 0 2
r1r2 0 1 1 2 r4 1r3 0 1 1 2

0
0
2 4

0
0
2 4
0 0 2 2
00 02
4
12 3 4
n
11 2 3
n 1
1x12
n2
例6：计算n阶行列式 D 1 x x 1
n3
1x x x
2
1x x x
1
例3：已知四阶行列式D的第2行元素分别为: -1, 0,2 ,4 第4行元素的余子式依次为：2, 4, a, 4 求a=？
解：由已知得：A41=-2，A42=4, A43=-a, A44=4 由行列式某行元素与另一行元素的代数余子式乘 积之和为零，可知：
2 1 41 2 0 1 42 4 2 1 43 a 4 1 44 4 0
解：令i=4，j=8，得排列为： 2 1 4 3 7 6 8 9 5 因为t( 214376895)=0+1+0+1+0+1+0+0+4=7 所以214376895为奇排列，与题意矛盾。
故取i=8，j=4，此时排列2 1 8 3 7 6 4 9 5为偶排列。
例2：写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。
D
aik Ajk
k 1

0
i j i j
定义法
递推法
计 算
加边法
方 法
数学归纳法
公式法
拆项法
析因子法
应 克拉默法则
用
齐次线性方程组有非零解的充要条件
下面我们通过例题来进一步巩固所学 的内容，并更好的掌握理解方法和技 巧，本章常见题型有填空题、计算题、 证明题
例1：问当i、j如何取值是，排列2 1 i 3 7 6 j 9 5 为偶排列？
行列式主要知识点网络图
排 列 逆序数，奇排列，偶排列
概 念 行 列
a11 a12
行列式 D a21 a22
a1n 一般项是不同 a2n 行不同列元素
乘积代数和
式 知
1.D=DT
an1 an2
ann
识
2.互换行列式的两行(列)，行列式变号。
点
推论：若行列式两行(列)相同，则行列式等0
3.某行(列)所有元素同乘k，等于k乘行列式
0
an

a1a2 ..an
1
n i 1
1 ai

例8：用数学归纳法证明

1
0
1
0
0
00
00
0
0 n1 n1

1
证明：当n=1时，D1




2

2
结论成立。
当n=2时，

D1 1
解得：a=9
123 23 3
例4，计算3阶行列式 D 249 49 9
367 67 7
123 23 3
解：D 249 49 9
367 67 7
100 20 3
c2 1c1
113
200 40 9 100 20 2 2 9 0
c31c1 300 60 7
337
0
Dk 0 1
0

按第1行展开
Dk Dk1
k1 k1 k k

k2 k2


所以当n=k+1时结论成立，由此结论得证。
2x1 x2 3x3 1
0 1 1 2
例5：计算四阶行列式
1 D
1
0
2
1 2 1 0
2 1 10
解：
0 1 1 2
0 1 1 2
r3 r2 1 1 0 2
D 0 r4 2r2 1 1 2
1 r3 r1 1 0 2
0 r4 3r1 0 2 4
0 3 1 4
0 0 2 2
3 3
2 2 2
结论成立。
假设当n≤k时结论成立，证n=k+1时也成立

0
1
0
Dk1 0
1
0
1 k+1阶

0
按第1列展开
1
解：第(n-1)行的(-1)倍加到第n行上，第(n-2) 行(-1)倍加到第(n-1)行上,以此类推，直到第1 行(-1)倍加到第2行上。
12 3 4
n
0 1 1 1
1
0 x 1 1 1
1
D
0 0 x 1 1
1
按第1列展开
00
x 1 1
1 1 1
1
x 1 1 1
1

x 1 1
1
1
x 1 1 n-1阶
x 0 0
0
x 1 ri 1ri1 x
0
0

x 1 x
0
x 1 1
1 n1 xn2
例7（边加法） 1 a1 1
1
1 D
1 a2
1
解：
11
1 an
11 1
1
111
1
0 1 a1 1 D 0 1 1 a2
例9：求解线性方程组 4x1 2x2 5x3 4
2x1 2x3 6
2 1 3
解：因为系数行列式 D 4 2 5 6 0
1
1 a1 0
1
1 1 0 a2
1
1
1
01 1
1 an 1 0 0
an
n+1阶
第1行(-1)倍 加到各行上
第2列、第3列…第n列，依次乘 1 , 1 ,... 1
后加到第1列上去。
a1 a2 an
1 1 1 ... 1 1 1
1
a1 a2
an
0
0
a1 0
0
0 a2
0
0