浅谈求最值问题的几种方法摘要：最值问题综合性强， 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽，而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题， 也有一些小综合的中档题， 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识， 综合运用各种数学技巧， 灵活选择合理的解题方法， 本文就几类最值问题作一探求.关键词:数学；函数；最值；最大值；最小值 1． 常见函数的最值问题． １.1 一次函数的最大值与最小值.一次函数b kx y +=在其定义域(全体实数）内是没有最大值和最小值的， 但是, 如果对自变量x 的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了.例1. 设0>a 且 a ≠1，)1(1x aax y -+=,(0≤x ≤1），求y 的最大值与最小值. 解: )1(1x a ax y -+=可化为:.1)1(ax a a y +-=下面对一次项系数分两种情况讨论:（1)当a ＞1时,a －a 1＞0,于是函数ax a a y 1)1(+-=的函数值是随着x 的增加而增加的，所以当x ＝0时,y 取最小值a1; 当x =1时,y 取最大值a . （2）当0<a ＜1时,01<-a a ，于是函数a x a a y 1)1(+-=的函数值是随着x 的增加而减少的,所以当x ＝０时，y 取最大值a1; 当x =1时,y 取最小值．例2. 已知z y x ,,是非负实数,且满足条件.503,30=-+=++z y x z y x求z y x u 245++=的最大值和最小值.分析： 题设条件给出两个方程,三个未知数z y x ,,,当然, z y x ,,的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个,不防固定x ，那么z y ,都可以用x 来表示，于是u 便是x 的函数了（需注意x 的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出u 的最大值与最小值.1．2二次函数的最大值与最小值一般地,求二次函数()02≠++=a c bx ax y 的最大值与最小值,都是根据二次函数的性质和图象来求解,即有：若a >0，则当x ＝ —a b 2时，y 有最小值为a b ac 442-;若a <0，则当x = —a b2时，y 有最大值ab ac 442-. 这里我们给出另一种求二次函数最值的方法——判别式法． 例3. 已知x １， x 2是方程0)53()2(22=+++--k k x k x (k 是实数）的两个实数根，求2221x x +的最大值与最小值.分析：一般地,二次函数0)()()(3221=++y f x y f x y f ，若方程有实根,其判别式)()(4)]([3122y f y f y f -=∆≥0．如果关于y 的不等式∆≥0,可以解出y 的取值范围，便可求出函数)(x f y =的最值,这就是求函数最值的判别式法．解:由于二次方程有实根,所以∆＝)53(4)]2([22+----k k k ≥0解得 4-≤k ≤34-则 2122122212)()(x x x x x x k f -+=+=)53(2)2(22++--=k k k 19)5(2++-=k由于)(k f 在]34,4[--上是减函数,可见当4-=k 时,)(k f =2221x x +有最大值1８,当34-=k 时，)(k f =2221x x +有最小值950.1.３三角函数的最大值与最小值三角函数的最值问题题型广,涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思想方法的应用,因而一直是学习中的热点和重点．例 4. 已知函数2)cos (sin 22sin a x x x y ++-=,设x x t cos sin +=,当t 为何值时,ｙ取得最小值.解: )4sin(2cos sin π+=+=x x x t ， 22≤≤-t∴ x x x t 2sin 1cos sin 212+=+=即有 12sin 2-=t x ∴ 1)1(212222-+-=+--=a t a t t y , 22≤≤-t∴ 当1=t 时，y 取得最小值12-a ．说明：求三角函数的最值时,方法很多，而在代数中求最值的方法均适用，如配方法（注意三角函数的取值范围），换元法（注意换元后的范围),判别法，重要不等式（注意取等号的条件）等等，这里不再赘述，只列举出几种常见的三角函数及最值的求法:(1))cos (sin b x a b x a y ++=或型,利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论. (2) x b x a y cos sin +=型,先引进辅助角化成22b a y +=)sin(ϕ+x ,再利用有界性．（3） c x b x a y ++=sin sin 2型,配方后求二次函数的最值,须注意1sin ≤x 的约束. (4） d x c bx a y ++=sin sin 型，反解出x sin ,化归为1sin ≤x 解决.(５) d x c b x a y ++=cos sin )sin cos (dx c bx a y ++=或型，化归为()()y g x =+ϕsin 利用三角函数的有界性求解,或用数形结合法 .(6) c x x b x x a y +++=cos sin )cos (sin 型,常用到换元法,令x x t cos sin +=，2≤t .１.4 分式函数的最大值与最小值求分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的最大值与最小值问题，常用到的办法是去分母后,化为关于x 的二次方程,然后用判别式∆≥0,得出y 的取值范围，进而求出y 的最大值和最小值．例5. 求函数1223222++--=x x x x y 的最值.解：去分母，整理得 0)3()1(2)12(2=++++-y x y x y 当21≠y 时,这是一个二次方程，因x 是实数，所以判别式∆≥0． 即 ∆=0)3)(12(4)]1(2[2≥+--+y y y解得 14≤≤-y 当;314-=-=x y 时， 当.21-==x y 时， 由此即知, 当 31-=x 时， y 取最小值-4； 当 2-=x 时, y 取最大值1.说明：本题求最值的方法叫判别法，是一种常用的方法,但在用判别法时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x 值. 2. 一类无理函数的最值问题无理函数的最值是高中数学教学的一个难点，其形式多样,解法繁杂,学生在解题时常感困惑，下面就研究一类形如d cx b ax y +++=)0,,,,(<∈ac R d c b a 的无理函数最值的解法.例6. 求函数)64(3184≤≤-+-=x x x y 的最值,以及y 取最值时x 的值.解法1． 利用判别式显然0≥y ， 两边平方得 )318)(4(2)214(2x x x y --+-= 移项，平方整理得 048428)1764(162422=+-+-+y y x y x 由0)48428(64)1764(2422≥+---=∆y y y得 802≤≤y又 0)318)(4(2)214(2≥--=--x x x y 及0>y 得 2214≥-≥x y∴ 222≤≤y 当x =6时,2m in =y ;当x =29时,22max =y . 解法2. 巧用三角变换.设ϕ2sin 4y x =-, ϕ2cos 318y x =-则ϕ42sin 4y x =-， ϕ42cos 318y x =-. 消去x 得 43)43(cos 4cos sin 3622442+-=+=-ϕϕϕy.当 43cos 2=ϕ 时, 即29=x 时, 22max =y ; 当 0cos 2=ϕ 时， 即x ＝6 时， 2m in =y .解法3. 善用导数．导数是高中数学中的重要内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题成为强有力的手段,要重视导数在解决一些复杂的函数最值上的作用，善于运用它体念它独特的解题魅力,能使问题得到简洁,完美的解决.对原函数求导可得 xx y 31823421'---=令 0'=y 得 29=x 又]6,4[∈x 计算端点和导数为零的函数值得 6|4==x y , 2|6==x y ， 22|29==x y ．由此可得 当x =29时,22max =y ， 当x =6时，2m in =y . 3． 其它函数的最值问题处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个最大值或者最小值。

例7． 设x 是正实数,求函数xx x y 12+-=的最小值． 解：先估计y 的最小值 1)21()12(2+-+++-=xx x x y 11)1()1(22≥+-+-=xx x又当1=x 时,1=y ． 所以y 的最小值为1．说明：在求最小(大)值,一定要举例说明这个值是能取到的,才能说这就是最小（大）值,否则就不一定对了,例如,本题我们也可以这样估计:3)21()12(2-++++-=xx x x y 33)1()1(22-≥-++-=xx x 但无论x 取什么值时，y 取不到3-，即3-不能作为y 的最小值.。