3. 观察共振现象，测量不同阻尼电压下的受迫振动的幅频特性和相频特性。
步骤：①在实验 2 的基础上，分别接入 6V 和 8V 电压到阻尼线圈； ②从 15V 到 6V 变化，将电压接入受迫振动电机; ③测量不同电压下，振动 10 个周期后所用时间 10T 及波尔摆的末振幅格数， 将其记录表 3； ④根据表格数据，计算各振动角频率ω。
13
0.5/4.5
2
13.69 4.589617 1.454251 -163.30572
12
-1/5.5
3.25
15.32 4.101296 1.299523 -156.54946
11
-3.5/8
5.5
17.41 3.608952 1.143521 -139.48289
10
-6/11
8.5
19.53 3.217197 1.019391 -99.48507
减小；当 很大时，振幅趋于零。
由式（8）可见，当
0
0
时，有
0
2
，即受迫振动的位相落后于外加简谐
力矩的位相；在共振情况下，位相落后接近于
2
，而在
0
时（有阻尼时不是共振状态），
位相才正好落后 2
；当
0 时，有 tg
0
，此时
2
，即位相落后得更多；当
0
时， 趋近 ，即接近于反位相。在已知0 及 的情况下，则可由式（8）计算出各 值
10T/s
19.84 19.84 20.12 19.81 19.81 20.06 19.88 19.91
0 /rad·s-1 3.167 3.167 3.123 3.172 3.172 3.132 3.161 3.156
其中固有圆频率由 0
2 T
计算得出。
1
平均值0 7 7 0i =3.156rad/s。
2T
阻尼电压 Uห้องสมุดไป่ตู้V
6
8
末振幅 A/格 3
3
2
2.5
7
8
9
nT
9.75 10.06 9.43 9.94 3.94 3.97 3.94
β
0.3488 0.3381 0.4037 0.3605 0.6482 0.6097 0.5844
根据阻尼振动方程，可得阻尼因数计算式 1 ln A0 。取平均后可得
2. 手工操作实验内容
（1）测量扭摆在自由状态下的固有频率。 （2）观察阻尼振动现象，测量阻尼电压是 6V 和 8V 时候的阻尼因数β 。 （3）观察共振现象，测量在 6V 和 8V 阻尼情况下的受迫振动的幅频特性和相频特性。
幅频特性曲线：以ω/ω0 为横坐标，振幅 A 为纵坐标。
相频特性曲线：以ω/ω0 为横坐标，相位 为纵坐标。 3. 计算机测控实验内容
扭摆（波尔摆）一套（PHYWE），秒表，数据采集器，转动传感器。
【实验原理】
1．扭摆的阻尼振动
在有阻力矩的情况下，使扭摆由某一摆角开始做自由振动。此时扭摆受到两个力矩的作
用：一是弹性恢复力矩 M弹 ，它与摆的扭转角 成正比，即 M弹＝c （c 为扭转系数）；二
是阻力矩阻 M阻 ，可近似认为它与摆动的角速度成正比，即 M阻＝ r
步骤：①将玻尔摆转至一定角度 A0。 ②放手，用电子表测定一定周期数后的时间 nT。这里定为 10 个周期。 ③记录 A0、10T。 ④改变初始振幅 A0，重复①②③步。 ⑤计算玻尔摆平均共振频率。
表 1 自由状态下的固有频率与初始振幅、振动周期数的关系 初始振幅/格 40 50 60 70 80 90 100 平均
以ω/ω0 为横坐标，分别以振幅 A 和相位φ为纵坐标，做出幅频特性曲线和 相频特性曲线。
A/格
ω/ω0 图 2 6V 阻尼电压下受迫振动的幅频特性曲线
由图 2 可以看出，当 ω/ω =1，即驱动力频率在玻尔摆固有频率附近时，摆的 0
振幅最大,此时即为共振。当驱动力频率分别在系统固有频率两侧减小或增大时， 玻尔摆的振幅都在不断地减小。
（2）数据的导出：在 measure 菜单中选择 export data，里面的两个单选按钮都选第 二个，然后存盘就可以了。在样图上分析周期：点击工具栏最后一栏的第二个按钮，再点击 calculate，对数据分析可以得出周期。我们希望能在同一坐标系下画出扭摆的转动角度和 角速度的相图。运行 Origin 软件，点击工具栏的 Import ASCII 按钮，打开刚才存盘的数 据文件，将第二列数据改成 X 坐标，再选定后面两列数据，点击“line”，就可以画出转动 角度和角速度的相图了。
A A0 exp( nT )
则
2．扭摆的受迫振动
1 ln A0 nT A
（4）
当扭摆在有阻尼的情况下受到简谐外力矩作用时，就会作受迫振动。设外加简谐力矩通
过弹簧加到摆轮上，其频率是 ，幅度为 M 0 （ M0 c0 ， 0 为外力矩角幅），且有
M外＝M0 cost ，则扭摆的运动方程变为
d 2 dt 2
15
表 3-1 各受迫电压下振动 10T 所用时间及末振幅格数 阻尼电压 6V
振幅范围 A1/A2 稳定振幅ΔA/2 总时间
/格
/格
10T
角频率 ω
ω/ω0 相位差φ/°
1/3.5
1.25
11.59 5.421213 1.717748 -168.55462
14
1/4
1.5
12.68 4.955193 1.570087 -166.15944
格
/格
10T
角频率 ω
ω/ω0
0.5/4.0
1.75
11.28 5.5702 1.764956
表 2-1 不同阻尼电压下的振动 5 个周期后末振幅格数及所用时间
周期 nT
5T
阻尼电压 U/V
2
4
末振幅 A/格 70
70
69.5 30
31
30
nT
9.91
9.78
9.91 10.00 9.91 9.80
β
0.0254
0.0257
0.0261 0.1099 0.1076 0.1121
周期 nT
5T
d dt
(r
为阻矩系数）。
若扭摆的转动惯量为 I ，则根据转动定律可列出扭摆的运动方程：
I
d 2 dt 2
c
r
d dt
即
（1）
d 2 r d r 0 dt2 I dt I
（2）
令
r I
2
（
称为阻尼因数），
r I
02
（称0 为固有圆频率），则式(2)的解为
A0
exp(t) cos
2 T
t
A0
率与外力矩的频率相同，但二者的位相差是 。
由式（7）可见，当 →0 时，振幅 A
接近外力矩角幅0 （∵ h
M0 I
c I
020 ），
随着 的逐渐增大，振幅 A 将随之增加，当 02 2 2 时，振幅 A 有最大值，此时称
为共振，此频率称为共振频率，即 共 02 2 2 。当 共 或 共 时，振幅都将
9
-3.5/8.5
6
22.31 2.816309 0.892367 -45.2079
8
-1/6
3.5
26.97 2.329694 0.738179 -20.4518
7
1/5
2
33.22 1.891386 0.599299 -12.1343
6
0.5/3
1.25
43.50 1.44441 0.457671 -7.58174
共 振 摆 固 有 频 率 ω 0=3.156rad/s ， 8V 下 阻 尼 因 数 β =0.6141s-1 ，
2
arctan(
2
02
)
，得出表
3-2。
阻尼电压 U/V
15
表 3-2 各受迫电压下振动 10T 所用时间及末振幅格数 阻尼电压 8V
振幅范围 A1/A2 / 稳定振幅ΔA/2 总时间
φ/°
图 3 6V 阻尼电压下受迫振动的相频特性曲线
ω/ω0
由图 3 可以看到：当 远小于 0 时， 的值趋向于零，即驱动力与摆振动趋
于同相；随着 的增大， 的值不断减小，当 接近0 时， 的值趋于 / 2 ，
即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于 / 2 ;当 远大于0 时， 的
值接近 ，即受迫振动的位相落后于外加简谐力矩的位相趋于 。
2
d dt
02
h cost
（5）
其中 h M0 I ，在稳态情况下，式（5）的解是
其中 A 为角振幅，
Acos(t )
A
h
(02 2 )2 4 2 2
（6） （7）
而角位移 与简谐外力矩之间的位相差 则可表示为
2
arctan(
2
02
)
（8）
式（6）说明，扭摆在简谐外力矩作用下的运动也是简谐振动，它的振幅是 A ，它的频
exp(t) cost
（3）
其中 A0 为扭摆的初始振幅，T 为扭摆做阻尼振动的周期，且 2 T 02 2 。
由式（３）可见，扭摆的振幅随着时间按指数规律衰减。若测得初始振幅 A0 及第 n 个
周期时的振幅 An ，并测得摆动 n 个周期所用的时间 nT ，则有
A0
A0
exp( nT )
nT An 各阻尼电压下的阻尼因数。
表 2-2 各阻尼电压下的阻尼因数β
阻尼电压 U/V 2
4
6
8
阻尼因数β 0.0257 0.1098 0.3628 0.6141