中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、【例1】.某商店准备购进甲、乙两种商品•已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元. (1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共 100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两 种商品各多少件？(2) 若该商店准备用不超过 3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于 890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少 (利润=售价-进价)?根据题意列，得15a+35 100 — a W 3 100 ,£5a + 110U — a 》890,•.•总利润 W = 5a + 10(100 — a ) = — 5a + 1 000, W 是关于x 的一次函数， W 随 x 的增大而 减小，•••当x = 20时，W 有最大值，此时 W 900,且100 — 20= 80,答：应购进甲种商品 20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元.【例2】.今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水,某校数学教师编造了一道应用题： 为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施， 其中对居民生活用水收费作如下规定：解：(1)设购进甲种商品x 件，购进乙种商品 y 件,根据题意，得X + y = 100,15x + 35y = 2 700 , x =40, 解得：乜y =60.答：商店购进甲种商品 40件，购进乙种商品 60 件.(2)设商店购进甲种商品a 件，则购进乙种商品(100 — a )件,解得 20W a w 22.(1)(2) 记该用户六月份的用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；(3) 若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70W y< 90,试求m的取值范围.解：⑴应缴纳水费：10X 1.5 + (18 —10) X 2=31(元).(2) 当0W x< 10 时，y = 1.5 x;当10<x w m时，y= 10X 1.5 +2( x—10) = 2x—5;当x>m时，y = 15+ 2( m-10) + 3(x —= 3x—m- 5.r1.5 x x^lO ,/. y= $2x—5 10<x w m ,[3x—m- 5 x>m |(3) 当40w me 50 时，y= 2X40—5= 75(元)，满足.当20w m<40 时，y = 3X 40—m— 5 = 115 —m贝U 70< 115 —me 90,「. 25< me 45，即25< me 40.综上得，25< me 50.【例3】.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A, B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：(1)求代B两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；⑵某种植户准备租20亩地用来种植A, B两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元, 且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案.解：(1)设A, B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元.3x + y = 12 500 , x= 3 000 ,由题意，得解得2x + 3y= 16 500. |y= 3 500.答：A B两类蔬菜每亩平均收入分别是 3 000元，3 500元.⑵ 设用来种植A 类蔬菜的面积为a 亩，则用来种植 B 类蔬菜的面积为（20 — a ）亩.（3 000 a +3 500 20 — a > 63 000 , 由题意，得=解得10 V a w 14.a > 20 — a . •/ a 取整数，为:11,12,13,14. 租地方案为：类别种植面积（亩） A 11 12 13 14 B9876【例 4】•某学校计划将校园内形状为锐角△ABC 的空地（如图）进行改造，将它分割成△ AHG △ BHE △ CGF 和矩形EFGH 四部分，且矩形 EFGH 乍为停车场，经测量 BC=120m 高 AD=80m（1）若学校计划在△ AHG 上种草，在△ BHE △ CGF 上都种花，如何设计矩形的长、宽, 使得种草的面积与种花的面积相等？（2）若种草的投资是每平方米 6元，种花的投资是每平方米 10元，停车场铺地砖投资 是每平方米4元，又如何设计矩形的长、宽，使得△ ABC 空地改造投资最小？最小为多少解、(1 )设 FG=x 米，贝U AK=(80 — x)米由厶 AH&A ABCBC=120 AD=80可得:3 3BE+FC=120- (120 X )=-X2 21 3 1 3 ••• 一(120 x (80-x ) x x 解得 x=402 2 2 2•••当FG 的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。
(2)设改造后的总投资为 W 元13 1 33W — (120 x)(80-x) 6x x 10 x(120 x) 4 = 6x 2 - 240x 28800=6(x —2 22 2 220) 2+26400•••当 x=20 时,W 最小=36400空二业.・• HG 「20 2120 80 2答：当矩形EFGH 勺边FG 长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为【例5】.我州鼓苦养茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会 .现有A 型、B型、C 型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运 2种土特产，且每辆车必须装满 •根据下表信息，解答问题（1）设A 型汽车安排x 辆，B 型汽车安排y 辆，求y 与x 之间的函数关系式（2 ）如果三种型号的汽车都不少于 4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案 （3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费 .解:（ 1）法①根据题意得4x ・6y • 7 21 -x-y "20化简得：y =-血• 27••• x 为正整数，••• x =5,6,7 .故车辆安排有三种方案，即:方案一：A 型车5辆，B 型车12辆，C 型车4辆 方案二：A 型车6辆，B 型车9辆，C 型车6辆 方案三：A 型车7辆，B 型车6辆，C 型车8辆W 元 则 W = 1500x+1800(—3x + 27)+2000(21—x+3x —27)=100x 3660026400 元。
(2)x 一4 y -421 -x-y -4\>4-3x 27 _ 421 —x —(―3x+27 )兰4，解得（3）设总运费为•/ W 随x 的增大而增大，且X 二5,6,7答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为 37100元。
【例 6】.为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须 在60天内完成工程•现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程•经调查知道：乙队单独 完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用 2500元，乙队每天的工程费用 2000元.(1 )甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？(2) 请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用. 解：(1 )设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.30 30 ,+ 1根据题意得： x x + 25.方程两边同乘以 x (x+25),得 30 (x+25) +30x=x (x+25),即 x2 - 35x - 750=0.解之，得 x1=50, x2= - 15.经检验，x 仁50, x2= - 15都是原方程的解.但x2= - 15不符合题意，应舍去.•••当 x =50时，x+25=75. 答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天.(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可. 方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：2500X 50=125000 (元).方案二：由甲乙两队合作完成.所需费用为：(2500+2000)X 30=135000 (元).•••当 x = 5 时,W 最小二37100元【例7】.“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用 一批家电，这批家电的进价和售价如下表：(1)、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共 100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台⑵、若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共 100台，其中彩电台数 和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方 案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。
售价-进价) 解：(1 )设商店购买彩电x 台，则购买洗衣机(100 - x )台.由题意，得 2000x+1000 (100 - x ) =160000,解得 x=60，则 100 - x=40 (台)，2000a 1600a 1000(100-2a) < 160000100-2a _a因为a 是整数，所以a=34、35、36、37. 因此，共有四种进货方案. 设商店销售完毕后获得的利润为w 元，则 w= (2200 - 2000) a+ (1800 - 1600) a+ (1100 - 1000) (100 - 2a ) =200a+10000, •/200> 0,「.w 随a 的增大而增大，•••当 a=37 时，W 最大值=200X 37+10000=17400 所以，商店获得的最大利润为17400元.【例8].在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将 A B C 三地的垃圾50立方米、160000元购进(利润=所以，商店可以购买彩电 60台，洗衣机40台.(2)设购买彩电和冰箱各a 台，则购买洗衣机为(100 - 2a )台.133 a 空 37.5 解得 3根据题意，得40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D E两地进行处理.已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米.（1 ）求运往两地的数量各是多少立方米？（2 ）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍.其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C 两地运往D E 两地哪几种方案？（3）已知从A B、C三地把垃圾运往 D E两地处理所需费用如下表：在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x - 10=140,解得：x=50,「. 2x- 10=90,答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米；（2）由题意可得，'90-（A+30）v2aQ°—9°一（a+30）】兰12，解得：20v a < 22,Ta是整数，••• a=21或22,「.有如下两种方案：第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往 E 地11立方米；第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往 E 地12立方米；（3 ）第一种方案共需费用：22 X 21+20X 29+39X 20+11X 21=2053 （元），第二种方案共需费用：22 X 22+28X 20+38X 20+12X 21=2056 （元）所以，第一种方案的总费用最少.【例9】.我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地•按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满•请结合表中提供的信息，解答下列问题：(1)设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y.求y与x的函数关系式；(2)如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；(3)在(2 )的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费.••• y=20- 2x,x > 5(2)根据题意，得：2°-2x' 4解之得：5<x w 8•••x 取正整数，• x=5, 6, 7, 8,•共有4种方案，即(3)设总运费为M元，则M=12X 240X+10X 320 20 - 2x) +8X 200 (20 - x+2x - 20)即：M=- 1920X+64000• M是x的一次函数，且M随x增大而减小，•当x=8时，M最小，最少为48640元.【例10】.为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品•已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元.（1）每个文具盒、每支钢笔个多少元？（2）时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠•若买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要％元；求y1、y2关于x的函数关系式；（3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱•解：（1）设每个文具盒x元，每支钢笔y元，可列方程组得"5x+2y=100 "x =14j4x+7y i61，解之得$=15答：每个文具盒14元，每支钢笔15元•（2）由题意知，y1关于x的函数关系式为y仁14X 90%，即y1=12.6x.由题意知，买钢笔10以下（含10支）没有优惠，故此时的函数关系式为y2=15x.当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时函数关系式为y2=15 >10+15疋0%（ x—10）即y2=12x+30（3）当y1< y2 即12.6x<12x+30 时，解得x<50;当y仁y2 即12.6x=12x+30 时，解得x=50;当y1> y2 即12.6x>12x+30 时，解得x>50.综上所述，当购买奖品超过10件但少于50件时，买文具盒省钱；当购买奖品超过50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱•【例11].为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大. 在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种. 科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益.现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄, 种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄（垄数为正整数），它们的占地面积、产量、禾U润分别如下：（1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种?（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）根据题意西红柿种了（24- X ）垄15 X+30（24- X）< 540 解得X > 12■/ X < 14,且X 是正整数••• X =12, 13, 14共有三种种植方案，分别是：万案一：草莓种植12垄, 西红柿种植12垄万案二: 草莓种植13垄，西红柿种植11垄万案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄（2）解法一：方案一获得的利润：12X 50X1.6+12X 160X』=3072 （元）方案二获得的利润：13X 50X1. 6+11X 160X1=2976 （元）方案三获得的利润：14X 50X1. 6+10X 160X1=2880 （元）由计算知，种植西红柿和草莓各12垄，获得的利润最大，最大利润是3072元解法二：若草莓种了X垄，设种植草莓和西红柿共可获得利润y元，则y =1.6 50X 1.1 160（24 -x） = -96x 4224••• k =-96 v 0 • y随X的增大而减小又••• 12 < X < 14,且X是正整数•••当X=12时，y最大=3072 （元）word资料。