第一章 电磁场基本概念
§1－1 Maxwell 方程组
（一）maxwell 方程
微分形式 积分形式
全电流定律 t J Η∂∂+=⨯∇D
⎰⎰⎰⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅S t ds J dl H L D ( 1-1) 电磁感应定律 t B E ∂∂-
=⨯∇ ⎰⎰⎰⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-
=⋅S t ds dl E L B ( 1-2) 高斯定律 ρ=⋅∇D
⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅V S dv ρds D
( 1-3) 磁通连续性原理 0=⋅∇B
0=⋅⎰⎰S ds B (1-4)
电流连续性方程 t J ∂∂-
=⋅∇ρ ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-=⋅V S dv t
ρds J ( 1-5)
说明: 1、 ①四个方程的物理意义, 电生磁, 磁生电, 预言电磁波; ②积分形式( 环量与旋度, 通量与散度之间的关系) 、 复数形式( 可作为稳态场计算) ; ③梯度、 散度、 旋度的概念( 描述”点”上电磁场的性质) 。
2、 方程( 1-1) 、 ( 1-2) 、 ( 1-5) 是一组独立方程, 其它两个方程能够由此推出。
但独立方程有6个变量( ρ、、、、、J D E H B ) , 因此, 方程数少于未知量, 是非定解方式, 必须加本构方程才为定
解形式, 对于简单媒质, 本构方程为
E D ε= H B μ= E J γ= (1-6)
3、 材料性质
材料是均匀的 const =ε, const =μ , const =γ
材料是非均匀: ()z y x ,,εε=, ()z y x ,,μμ=, ()z y x ,,γγ=
材料是各向异性: 材料参数用张量形式表示 εε=, μμ=, γγ= 材料为非线性: 材料参数是未知函数的函数 ()E εε=, ()B μμ=, ()E γγ=
dE
dJ dH dB dE dD ===γμε ( 1-7) 4、 直接求解矢量偏微分方程不易: 一般矢量方程要转化为标量方程才能求解, 另外, 在边界上不易写出场量边界条件, 因此, 常化为位函数的定解问题( 位函数容易确定边界条件) , 经过位函数与场量的关系
ϕϕϕ∇-∂∂-=-∇=⨯∇=-∇=t
m A E H A B E ( 1-8) 得到场量。
§1－2 偏微分方程的基本概念
1.2.1 偏微分方程的基本概念
微分方程分为常微分方程和偏微分方程( 又分为描述不同物理现象的椭圆型方程、 双曲型方程、 抛物型方程及其线性和非线性方程) , 电磁场问题多为偏微分方程问题。
1、 常微分方程
未知函数是一元函数( 即一个变量的函数) 的微分方程( 组) 。
如R 、 L 、 C 串联电路是两阶常系数非齐次微分方程,
s c c c u u dt du RC t
d u d CL =++22 ( 1-9) 对于一个n 阶场微分方程, 一般可将其分解为有n 个任意常数的通解形式, 根据初始条件解出常数。
2、 偏微分方程
未知函数是多元函数的微分方程, 如 ()t y x u u ,,=。
又分为线性和非线性偏微分方程, 除了极有限的问题能够用分离变量法求解外, 多数问题难以用解析表示式表示。
（1） 线性偏微分方程
设 ()y ,x u u = , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=y u x u u p p ,,( 如: ()y x E y E x y x u -=∂∂-=∂∂=ϕϕϕ , ,,, 如: ()x y B y
A B x A y x A u =∂∂-=∂∂= , ,,) , 则 022222=+∂∂+∂∂∂+∂∂f y
u c y x u b x u a ( 1-10) ()s ru y
u e x u d p y x f ++∂∂+∂∂=,, 中, 如果a,b,c,d,e,r,s 与p 无关, 只是x,y 的函数, 则称式(1-10)为线性微分方程。
（2） 非线性微分方程
a,b,c, d,e,r,s,f 中只要有一项不满足上述条件, 或未知函数及其偏导数是非线性的微分方程, 则都称为非线性微分方程。
如恒定磁场中的定解问题
()
A J z A z y A y x A x μμμμμ=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂111 如: 在电磁场中, 若c =μ, 或媒质不均匀时()z y x ,,μμ=, 均为线性方程。
若()B μμ=, 或()A μμ=, 则为非线性方程。
1.2.2 偏微分方程的分类
宏观电磁场都是二阶微分方程, 下面以二阶电磁场偏微分方程为例, 看偏微分方程的不同类型所反映的物理现象。
以二元函数为例, ()y x u u ,=, y 能够是时间变量t, 那么偏微分方程的普遍形式为
022222=+∂∂+∂∂∂+∂∂f y
u c y x u b x u a ()s ru y u e x u d p y x f ++∂∂+∂∂=,, 最高阶项称为主部, 主部决定着公式所代表的物理特性:
02>-b ac 椭圆型方程, 如 ερϕϕ-=∂∂+∂∂2222y x , 1==c a , 0=b
02<-b ac 双曲型方程, 如 02222=∂∂-∂∂y
x ϕμεϕ, 1=-=c a , 0=b 02
=-b ac 抛物型方程, 如 022=∂∂-∂∂t x ϕϕ, 1=a , 0==c b
1、 椭圆型方程
如泊松方程、 拉普拉斯方程
ερϕϕϕ-=∂∂+∂∂+∂∂222222z y x ( 与椭圆方程 122
2222=++c
z b y a x 形象对比) 特点: 所有二阶偏导数的系数同符号, 描述的物理现象:
描述平衡、 定常的稳定状态, 因此方程与时间无关, 定解条件中只有边界条件, 没有初始条件。
如重力场、 静电场、 恒定电场、 恒定磁场、 稳定温度分布过程。
2、 双曲型方程
如波动方程 022222222=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂t
u z y x μεϕϕϕ 无损耗, 无激励源 ( 与双曲型方程
122
2222=-+c z b y a x 形象对比) 特点: 对时间的偏导数系数与对空间偏导数的系数相差一负号。
描述波的传播过程, 它具有对时间可逆的性质( 用( -t ) 代入方程后, 方程不变)
如: 弦振动、 膜振动、 声波、 电磁波。
3、 抛物型方程
如, 热传导方程
()t z y x f z u y u x
u a t u ,,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂222222 a —扩散率或导温系数 涡流方程 t H H ∂∂=∇μγ
2, t E E ∂∂=∇μγ2, t J J ∂∂=∇μγ2 ( 与双曲型方程 22
22b y a x z -= 形象对比)
特点: 对时间变量的二阶导数为零。
描述各种场的扩散过程, 它具有对时间不可逆的性质。
1.2.3 定解问题
1、 初值问题
只有初始条件, 没有边界条件的定解问题。
如电路中的过渡过程问题、 无界空间电磁波传播问题等。
2、 边值问题
只有边界条件, 没有初始条件的定解问题。
如静电场、 恒定电场、 恒定磁场等问题。
3、 混合问题
既有边界条件, 又有初始条件的定解问题, 又称定解问题。
如电气设备中的瞬态电磁场问题等。
4、 解的稳定性问题
如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化, 称其解是稳定的。
反之称为不稳定解。
( 第1次课)
§1－3 电磁场中的定解问题
定解问题 = 泛定方程+定解条件( 初始条件+边界条件)
下面先介绍各种场的泛定方程, 然后介绍各类边界条件。
1.3.1 静态、 稳态电磁场中的泛定方程
1、 静电场方程
静电场的基本方程 0=⨯∇=⋅∇E , D ρ
泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇
三维方程 ρϕεϕεϕε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x 若ε是均匀、 各向同性介质, 上式为
ε
ρϕ-=∇2 —椭圆型方程 静电场方程是椭圆型方程, 只有边值问题。
2、 稳态电流场问题
稳态( 直流) 电流场满足的基本方程:
0E 0J =⨯∇=⋅∇ , → ϕ-∇=E
说明在导电媒质中, 电流不会自成闭合回路( 从电源正极出发到电源负极终止) , 电位满足
拉普拉斯方程 0=∇⋅∇ϕγ —椭圆型方程
若γ是均匀、 线性、 各向同性介质, 上式为 02=∇ϕ
产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。
3、 稳态磁场
稳态( 直流) 电流产生的磁场满足的基本方程
H B , B , J H μ==⨯∇=⨯∇0
（1） 标量磁位的泊松方程
当求解区域内0=J , 那么0=⨯∇H , 必定存在一个标量函数, 使得
m H ϕ-∇=
根据H B , B μ==⋅∇0, 上式为拉普拉斯方程
0=∇⋅∇m ϕμ —椭圆型方程
上述方程只能用于0=J 的单连通域( 见雷银照教材) , 因此应用的局限性较小。
当磁场区域内存在铁磁质时, 展开后为非线性方程为:。