根據同一律的要求，違反同一律的邏輯錯誤有兩種:混淆概念或偷換概念，轉移論題或偷換論題。
（四），什麼是形式邏輯學中用“種加屬差”（或者稱之為“上概念加下概念差”）的方法給認識對象下定義
“種加屬差”定義法：當我們對一個概念——比如“素數”下定義時，首先要找到與這一概念最近的“種概念”（或者稱之“上概念”）——自然數，然後我們就可以說“素數是一種自然數。”了。但僅僅這樣說是不完整的。我們還必須找出“素數”這一“屬概念”（或者稱之為下概念），和“自然數”這一“種概念”的其他“屬概念”（合數，1）之間的“差異”（屬差）來，“素數”與“合數和1”之間的“屬差”是什麼呢？是“只能被自身和1整除”，從而我們得出“素數是大於1並且只能被自身和1整除的自然數”。這一完整定義。
其次，在人類所有的科學語言中，從來沒有用否定的語言定義一個“普遍概念”。用否定判斷來定義“x不屬於x”的性質，是荒唐的。（參見定義規則第3條：不能夠用否定的判斷定義一個概念。比如說“人不屬於狗”，這樣說毫無意義，或者定義：“危險就是不安全”，“素數不是合數”等是沒有意義的）。
就是說，羅素的悖論在語法上是錯誤的。
如果命題【1】的R屬於R，根據R的定義，R就不屬於R（作者附言：如果“R屬於R”，這裏包含了第二次定義“一切”，“一切”的外延又擴大了）;
反之，如果命題【2】的R不屬於R，同樣根據定義，R就屬於R。
無論如何都是矛盾的。
用數學語言表述羅素悖論:設性質P(x)表示“x不屬於x”，現假設由性質P確定了一個類R，也就是說“R={x |x x }”。
（2），集合概念和非集合概念。
a，集合概念反映的是集合體，這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成，例如“中國工人階級”，集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性，例如某一個“中國工人”，不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性。
b，非集合概念（省略）。
（六）張益唐的錯誤
（1）張益唐結論主項是一個集合概念。
（三），問題出在羅素不懂什麼叫定義
1，什麼是定義
定義(Definition)，對於一種事物的本質特徵或一個概念的內涵和外延的確切而簡要的說明；或是透過列出一個事件或者一個物件的基本屬性來描述或規範一個詞或一個概念的意義;被定義的事務或者物件叫做被定義項，其定義叫做定義項。
2，羅素悖論定義中的錯誤
首先，羅素沒有按照“種加屬差”的正確方式定義概念（參見後面介紹的定義規則1）。
作為一個單句，要表現完整的意思，就必須清楚主語和謂語的關係。“R是否屬於R”是一個荒唐的鬧劇。對於一個句子，語義要貫通，層次要分明，語氣要流暢，句式要諧調。
數學的上面是邏輯學，邏輯學的上面是語言學。就是說，在學科的“食物鏈”，邏輯學站在數學的上端，語言學站在邏輯學的上端。所以，數學必須屈服於邏輯學，邏輯學必須屈服於語言學。
（五），定義的規則：
1】，種概念和屬概念的外延要相稱。比如：你不能說“人是一種能製造生產工具的生物”，這就犯了“外延過寬”的邏輯錯誤，因為生物還包括植物。
2】，不能夠迴圈定義。比如，你不能說“蛋就是卵”。因為你也可以反過來說“卵就是蛋”，結果是誰也說明不了誰。
3】不能夠是否定的判斷。比如說“人不是狗”，“素數不是合數”這樣說毫無意義。
同一律這一基本內容可以用公式表示為:A=A(或"A→A")
其主要表現在三方面:
(1)思維對象的同一。在同一個思維過程中，思維的對象必須保持同一;在討論問題、回答問題或反駁別人的時候，各方的思維對象也要保持同一。如果“x不屬於x”就無法進行合乎邏輯的討論。
(2)概念的同一。在同一個思維過程中，使用的概念必須保持同一;在討論問題、回答問題或反駁別人的時候，各方使用的概念也要保持同一。
（六），命題【1】【2】都是荒唐的
【1】，R是屬於R。
【2】，R不是屬於R。
前面的“R”是主項，後面的“R”是謂項。
主語表示“誰”或者“什麼”，謂語說明“是什麼”“不是什麼”或者“怎麼樣”。
一個命題要求所有的概念，定義，圖像，函數沒有歧義，清晰準確。在R涵義不清楚的情況下，命題是無法證明的。羅素悖論是科學史上一次拙劣的鬧劇。
a，單獨概念，反映獨一無二的概念，單獨概念的外延只有一個。例如，上海，孫中山，，，。它們反映的概念都是獨一無二的。數學中的單獨概念有“e”“Π”。“e是超越數”就是一個單獨概念的命題。
b，普遍概念，普遍概念反映的是一個對象以上的概念，反映的是一個“類”，這個詞項的內涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成。就是說，普遍概念的每一個個體必然具有這個概念的基本屬性。例如：工人，無論“石油工人”，“鋼鐵工人”，還是“中國工人”，“德國工人”，它們必然地具有“工人”的基本屬性。數學中的普遍概念有例如“素數”，“合數”，等。“素數無窮多”就是一個普遍概念的命題。
再例如，“三角形是我喜歡的幾何圖形”。因為“三角形”的確是我喜歡的幾何圖形，以這個定義適用於正確的外延。但是，“是我喜歡的幾何圖形”這一屬性並不適合於形成一個辭彙定義的背景。三角形的背景是：有三條邊或者有三個角的一個封閉的平面圖形。
所以，羅素定義“x不屬於x”是錯誤的，違反了定義規則。
不能使用否定的判斷。語法錯誤導致邏輯錯誤。
所以說，羅素悖論造成的數學危機不存在，是由於數學家的邏輯知識匱乏造成的。也說明羅素本人不懂邏輯學，至少是不精。
二，孿生素數猜想的是與非
王曉明
摘要：將孿生素數猜想公式化，不僅僅有利於直觀理解，還可以使得證明更加嚴謹。附件告訴大家張益唐和陶哲軒的錯誤在哪里。
關鍵字：孿生素數猜想；孫子定理；集合概念。
（一），什麼是孿生素數猜想
100年以来數論重大問題的“证明”全部都是错误的
王曉明
摘要：100年來，對數論中的重大問題的“證明”全部都是錯誤的，最重要的原因就是數論學家普遍不懂邏輯學。整個數論已經崩潰，本文的目的就是指出這些錯誤。(内容基本上发表在中国科学院智慧火花各个栏目上)
目錄：
1，羅素悖論的是與非。
2，孿生素數猜想的是與非。
2013年5月，有人宣稱，張益唐在孿生素數猜想研究取得突破。
人們發現張益唐證明結論使用的是一個集合概念。並且，張益唐的結論是以特稱判斷論述的，就不具備基本的可信度，因為所有的數學定理都是全稱判斷。
張益唐公式：
不等式左邊表明一種性質，下確界是針對一組數據，極限針對函數和序列，而右邊70000000是說左邊的素數對，好了，破綻就在這裏。小於70000000的素數對是一個“集合概念”。
其中 表示從小到大排列時的前k個素數：2，3，5，....。並且滿足：
， ， 。
這樣解得的自然數 如果滿足 ,則 與 是一對孿生素數。
我們可以把（1）式的內容等價轉換成為同餘方程組表示：
....（2）
由於（2）的模 都是素數，因此兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，對於給定的 ，（2）式有唯一一個小於 的正整數解。
素數p和素數p+2有無窮多對。
（二），孿生素數的公式
利用素數的判定法則，可以得到以下的結論：「若自然數 與 都不能被任何不大於 的素數整除，則 與 都是素數」。
這是因為一個自然數 是素數當且僅當它不能被任何小於等於 的素數整除。用數學的語言表示以上的結論，就是：
存在一組自然數 使得：
。.......（1）。
（三），範例
例如k=1時， ，解得 。
由於 ，所以可知3與3+2；5與5+2都是孿生素數。這樣就求得了區間 裏的全部孿生素數。
又比如k=2時，列出方程 ，方程長度增加。解得 。
由於 ，所以11與11+2；17與17+2都是了孿生素數。
由於這已經是所有可能的 值，所以這樣就求得了區間 的全部孿生素數。
（這些內容參見
1，【孿生質數公式】《中等數學》2000年1期，王曉明
2，【品數學】5頁，清華大學出版社
(五)，附件：張益唐和陶哲軒文章錯誤百出，無一是處.
1，預備知識
全世界的數學定理都是全稱判斷，所有的全稱判斷的主項都是普遍概念或者單獨概念，世界上沒有任何一個數學定理的主項是集合概念。
概念的種類：
（1），單獨概念和普遍概念
（二），羅素悖論
羅素1903年構造了一個集合R，設R為一切不屬於自身元素的集合所組成的集合（作者附言：這是第一次定義“一切”）。
羅素問：
R是否屬於R？（【中國大百科全書-數學】19頁）。
實際上羅素提出的是兩個命題：
【1】，R是屬於R。
【2】，R不是屬於R。
根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。
3，違反了同一律
同一律是形式邏輯的基本規律之一，就是在同一思維過程中，必須在同一意義上使用概念和判斷，不能混淆不相同的概念和判斷。公式是:"甲是甲"或"甲等於甲"。同一律是形式邏輯的基本規律之一，就是在同一思維過程中，必須在同一意義上使用概念和判斷，不能在不同意義上使用概念和判斷。
“x不屬於x”就是違反了同一律。
(3)判斷的同一。同一個主體(個人或集體)在同一時間(相應的客觀事物處於相對穩定狀態時)，從同一方面對同一事物作出的判斷必須保持同一。同一律要求思維的確定性，但是並不否認思維的發展變化。它完全是對思維過程說的，並不要求客觀事物保持同一，絕對不變。
邏輯的“同一律”方面的內容中，應該包括“同一立場”和“同一時空的範圍”在裏面。
3，哥德巴赫猜想的是與非。
4，費馬大定理的是與非。
5，黎曼猜想的是與非。
6，3x+1問題的是與非
7，物理学的m理论用四色定理哥德巴赫猜想费马大定理黎曼猜想联合表示
一，羅素悖論的是與非
摘要：羅素悖論定義的“x不屬於x”有著明顯的錯誤：1，不是按照“種加屬差”的正確方法定義x。2，不是按照“不能採用否定判斷的定義”。3，“x不屬於x”的定義違法了同一律。並且兩次定義“一切”違反了同一律。4，語法錯誤，“x不屬於x”，前面x是主語，後面x是謂語，前面主語x是“誰”“什麼”，後面謂語x“是什麼”，“不是什麼”。