希腊字母表第三章 压力容器安全设计的理论与基础知识§3-1应力和形变①拉伸或压缩: 拉伸应力A P =σ; 拉伸应变0001l l l l l ∆=-=ε 拉伸应力应变的线性关系ζ=E ε;ε’=με；E 为纵向弹性模量三向应力状态:)(3211EEEσσμσε++=)(3122EEEσσμσε++=)(2133EEEσσμσε++=②剪切时：剪切应力AP =τ; 剪切应变h a tg ==γγ剪切应力应变的线性关系η=G γ;)1(2μ+=EG ，为剪切弹性模量③弯曲时 (平面弯曲) ：平面弯曲应力 JMy=σ 其中yJ 为横截面对中性轴的惯性距dF y F⎰=2； 不同形状的截面，惯性矩J 是不同的。

例如圆形截面对中性轴的惯性矩为644d π（d 为圆直径），矩形截面对中性轴的惯性矩J 为123bh （b 为矩形宽，h 为矩形高），从这里也可以看出，即使是截面尺寸相同的矩形，扁放和立放时的惯性矩也是不一样的。

曲率半径EJM ==ρ1§3-2容器的薄膜应力压力容器按厚度可以分为薄壁容器和厚壁容器。

通常是将容器的厚度与其最大截面圆的内径之比小于0. 1，即外径/内径≤1.2者为薄壁容器，超过这一范围的容器称为厚壁容器。

薄壁容器的弯曲变形在壳壁上引起的应力要比拉伸压缩引起的应力小的多，可忽略。

这种理论称为薄膜理论或无力距理论。

如图3-2所示的圆筒形容器，当其受到内压力p 作用以后，其直径要略微增大，故筒壁内的"环向纤维"要伸长，因此在筒体的纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力， 以ζθ表示。

由于筒壁很薄，可以认为环向应力沿厚度均匀分布。

鉴于容器两端是封闭的，在受到内压力p 作用后，筒体的"纵向纤维"也要伸长，则在筒体的横向截面上也必定有应力产生，此应力称为经向（轴向）应力，以ζm 表示。

本节将通过对回转壳体的应力分析，推导出任意轴对称回转壳体的应力计算公式。

PP基本假设在这里讨论的内容都是假定壳体是完全弹性的，同时，材料具有连续性、均匀性和各向同性。

此外，对于薄壁壳体，通常采用以下几点假设使问题简化。

(1) 小位移假设壳体受力以后,各点的位移都远小于厚度。

根据这一假设，在考虑变形后的平衡状态时，可以利用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。

而变形分析中的高阶微量可以忽略不计，使问题简化。

(2) 直法线假设在壳体变形前垂直于中间面的直线段，在壳体变形后仍为直线，并垂直于变形后的中间面。

联系假设（1)可知，变形前后的法向线段长度不变。

据此假设，沿厚度各点的法向位移均相同，变形前后壳体厚度不变。

(3) 不挤压假设壳体各层纤维变形前后均互不挤压。

据此假设，与壳壁其他应力分量相比，壳壁法向的应力是可以忽略的微小量，其结果就变为平面问题。

这一假设只适用于薄壳。

上述假设实质上只是把材料力学中对于梁的假设推广用于壳体。

对于薄壁壳体，采用这些假设所得的结果是足够精确的。

1. 基本概念(1)回转壳体回转壳体是由任何直线或平面曲线绕同一平面内的一条轴线回转360°而成的回转表面。

平面曲线形状不同，所得到的回转壳体形状便不同。

例如，与回转轴平行的直线绕该轴旋转一周形成圆柱壳；半圆形曲线绕该轴旋转一周形成球壳；与回转轴相交的直线绕该轴旋转一周形成圆锥壳等，如图3-3所示。

(2) 轴对称所谓轴对称问题，是指壳体的几何形状、约束条件和所受外力都是对称于回转轴的。

化工用的压力容器通常都属于轴对称问题。

本章讨论的是满足轴对称条件的薄壁壳体。

(3) 中间面所谓中间面，是与壳体内外表面等距离的中曲面，内外表面间的法向距离即为壳体厚度，对于薄壁壳体，可以用中间面来表示它的几何特性。

(4) 母线或经线如图3-4所示回转壳体的中间面，是由平面曲线绕回转轴OA 旋转一周而成，形成中间面的平面曲线AB 称为"母线"。

母线也称为经线，它实际上是通过回转轴的平面与中间面相交的一条曲线。

如AB'和AB''。

(6) 法线通过经线上任意一点M 且垂直于中间面的直线，称为中间面在该点的"法线"（n ），法线的延长线必与回转轴相交。

(7) 纬线与平行圆作圆锥面与壳体中间面正交，得到的交线叫做"纬线"。

过N 点作垂直于回转轴的平面与中间面相割形成的圆称为"平行圆"，显然平行圆即是纬线，如图3-4中的CND 圆。

(8) 第一曲率半径R 1中间面上任一点M 处经线的曲率半径为该点的第一曲率半径R 1，R 1 =MK 1。

(9) 第二曲率半径R 2通过经线上任一点M 的法线作垂直于经线的平面与中间面相割形成的曲线EMF ，此曲线在M 点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径R 2。

第二曲率半径的中心K 2落在回转轴上，其长度等于法线段MK 2，即R 2 =MK 2。

一个小示例：一个受压力为p 的圆筒形容器，求：环向应力ζθ解：（算法1）取微元体，对应夹角为d θ。

截取圆筒长度为L ，则微元体面积为d θ·R ·L 。

微元体受内压作用力为P n =pRLd θ,方向为与x 夹角θ。

取y 方向分量为P y = pRLsin θd θ。

圆筒体受到的内压在y 轴方向的分量综合应该与环向应力平衡，即pRL d pRL L 2sin 20==⎰πθθδσ δσθpR=（算法2）假想作用在器壁上的内压作用在x 轴所在的平面上，根据力的平衡关系得：pRL L 22=δσθ，同样得出δσθpR=2. 回转壳体薄膜应力的基本公式（1）经向应力计算公式—区域平衡方程式求经向应力时，所采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面（因为横截面截得壳体的"厚度"不是其真正的厚度，而且各处"厚度"也不同。

此外，这样的截面上不仅有正应力，而且还有剪应力），而是与壳体正交的圆锥面。

为了求得任一纬线上的经向应力，必须以该纬线为锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线上，圆锥面的母线长度即是回转壳体曲面在该纬线上的第二曲率半径R 2，如图3-5所示。

圆锥面将壳体分成两部分，现取其下部分（图3-6)作脱离体，建立静力平衡方程式。

作用在该部分上的外力（内压）在Z 轴方向上的合力为p zp D P z 24π=作用在截面上应力的合力在z 轴上的投影为N zθδπσsin D N m z =根据z 轴方向的平衡条件P z -N z =0即 0sin 42=-θδπσπD p D m因为 θsin 22DR =， 即 θsin 22R D =代入式中得： δσ22pR m =（MPa ） （3-1）式中 D ——中间面平行圆直径，mm ； δ——厚度，mm ；R 2——壳体中曲面在所求点的第二曲率半径，mm ； ζm ——经向应力，Mpa 。

式（3-1）为计算回转壳体在任意纬线上经向应力的一般公式，即区域平衡方程式。

（2）环向应力计算公式—微体平衡方程式从壳体中截取一个微小单元体，考察其平衡，即可求得环向应力。

由于单元体足够小，可以近似地认为其上的应力是均匀的。

微小单元体的取法如图3-7及图3-8所示，它由三对曲面截取而得：一是壳体的内外表面；二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面；三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。

如图3-9所示是所截得的微小单元体的受力图，其中图3-9(a)为空间视图。

在微小单元体的上下面上作用有经向应力ζm ；内表面有内压力P 的作用，外表面不受力；另外两个与纵截面相应的面上作用有环向应力ζθ。

由于ζm 可由式（3-1)求得，内压力p 为已知，所以考察微小单元体的平衡，即可求得环向应力ζθ。

内压力P 在微小单元体abcd 上所产生的外力的合力在法线n 上的投影为P nP n = pdl 1dl 2在bc 与ad 截面上经向应力ζm 的合力在法线n 上的投影为N mn ，如图3-9(b)所示。

2sin222θδσd dl N m mn = (3-2) 在ab 与cd 截面上环向应力ζθ的合力在法线n 上的投影为N θn ，如图3-9(c)所示。

2sin211θδσθθd dl N n = (3-3) 根据法线n 方向上力的平衡条件，得到P-N mn -N θn =0 即 02s i n 22s i n2211221=--⋅θδσθδσθd dl d dl dl pdl m (3-4) 因为微小单元体的夹角d θ1与d θ2与很小，因此取1111222sinR dl d d =≈θθ 2222222sinR dl d d =≈θθ代入（3-4），并对各项均除以δdl 1dl 2，整理得δσσθpR R m=+21（3-5）式中ζθ——环向应力，MPa;R 1——回转壳体中曲面在所求应力点的第一曲率半径，mm 。

其他符号意义及单位同前。

式（3-5)即为计算回转壳体在内压力p 作用下环向应力的一般公式，即微体平衡方程式。

对于第一曲率半径，即经线的平面曲率半径，如果经线的曲线方程为y = y(x)，则[]'')'(12321y y R +=(3-6)以上我们对承受气体内压的回转壳体进行了应力分析，导出了计算回转壳体经向应力和环向应力的一般公式。

这些分析和计算，都以应力沿厚度方向均匀分布为前提，这种情况只有当器壁较薄以及离两部分连接区域稍远才是正确的。

这种应力与承受内压的薄膜非常相似，因此又称为“薄膜理论”。

（3）轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围 薄膜应力是只有拉压正应力，没有弯曲正应力的一种两向应力状态，因而薄膜理论又称为"无力矩理论"。

只有在没有（或不大的）弯曲变形情况下的轴对称回转壳体，薄膜理论的结果才是正确的。

在工程上，薄膜理论也是比较简单适用的，它的适用范围除壳体较薄这一条件外，还应满足下列条件。

(1) 回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变，曲率半径是连续变化的，材料 是各向同性的，且物理性能（主要是E 和μ)应当是相同的。

(2) 载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。

因此，壳体上任何有 集中力作用处或壳体边缘处存在边缘力和边缘力矩时，都将不可避免地有弯曲变形发生，薄膜理论在这些情况下就不能应用。

(3) 壳体边界的固定形式应该是自由支承的，否则壳体边界上的变形将受到约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应力，不再保持无力矩状态。

(4) 壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力和弯矩。

综上所述，薄壁无力矩应力状态的存在，必须满足壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性，同时需保证壳体应具有自由边缘。

当这些条件不能全部满足时，就不能应用无力矩理论未分析发生弯曲时的应力状态。