初三数学中考必考题1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式;(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积;(3)△AOB与△BDE是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由. (注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab44,22)2. 如图,在Rt ABC△中,90A∠=,6AB=,8AC=,D E,分别是边AB AC,的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ BC⊥于Q,过点Q作QR BA∥交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动.设BQ x=,QR y=.(1)求点D到BC的距离DH的长;(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值围);(3)是否存在点P,使PQR△为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.3在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M 点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O作接矩形AMPN.令AM=AB CD ERPH Qx.(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?4.如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.(1)求直线AB的解析式;(2)当点P运动到点(3,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P,使ΔOPD的面积等于43,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.5如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.(1)求证:△BDE≌△BCF;(2)判断△BEF的形状,并说明理由;(3)设△BEF的面积为S,求S的取值围.AB CM NP图 3OABM ND图 2OABM NP图 1O6如图,抛物线21:23L y x x=--+交x轴于A、B两点,交y轴于M点.抛物线1L向右平移2个单位后得到抛物线2L,2L交x轴于C、D两点.(1)求抛物线2L对应的函数表达式;(2)抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P是抛物线1L上的一个动点(P不与点A、B重合),那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线2L上,请说明理由.7.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.(1)求梯形ABCD的面积;(2)求四边形MEFN面积的最大值.(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.8.如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数xky=的图象上.CDA BE FNM(1)求m ,k 的值; (2)如果M 为x 轴上一点,N 为y 轴上一点, 以点A ,B ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN 的函数表达式.(3)选做题:在平面直角坐标系中,点P 的坐标为(5,0),点Q 的坐标为(0,3),把线段PQ移4个单位,然后再向上平移2个单位,得到线段P 1Q 1, 则点P 1的坐标为 ,点Q 1的坐标为 .9.如图16,在平面直角坐标系中,直线y =-x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ,,三点. (1)求过A B C ,,三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标;(2)在抛物线上是否存在点P ,使ABP △为直角三角形,若存在,直接写出P 点坐标;若不存在,请说明理由; (3)试探究在直线AC 上是否存在一点M ,使得MBF △的周长最小,若存在,求出M 点的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上,边OC 在y 轴的正半轴上,且1AB =,OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD .点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ,点C 的对应点为点D ,抛物x图16友情提示:本大题第(1)小题4分,第(2)小题7分.对完成第(2)小题有困难的同学可以做下面的(3)选做题.选做题2分,所得分数计入总分.但第(2)、(3)小题都做的,第(3)小题的得分不重复计入总分.线2y ax bx c =++过点A E D ,,. (1)判断点E 是否在y 轴上,并说明理由; (2)求抛物线的函数表达式;(3)在x 轴的上方是否存在点P ,点Q ,使以点O B P Q ,,,为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍,且点P 在抛物线上,若存在,请求出点P ,点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.11.已知:如图14,抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ,点B ,与直线34y x b =-+相交于点B ,点C ,直线34y x b =-+与y 轴交于点E . (1)写出直线BC 的解析式. (2)求ABC △的面积.(3)若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动(不与A B ,重合),同时,点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动.设运动时间为t 秒,请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式,并求出点M 运动多少时间时,MNB △的面积最大,最大面积是多少?12.在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上,且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若y ODEC FA BC 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根:(1) 求m ,n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ,CB (点C 除外)于点M ,N ,则11CM CN+的值是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由13.已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A (-1,0)、B (0,3)两点,其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式;(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积;(3)△AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由.(注:抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22)14.已知抛物线c bx ax y ++=232,ACO BNDML`(Ⅰ)若1==b a ,1-=c ,求该抛物线与x 轴公共点的坐标;(Ⅱ)若1==b a ,且当11<<-x 时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,求c 的取值围;(Ⅲ)若0=++c b a ,且01=x 时,对应的01>y ;12=x 时,对应的02>y ,试判断当10<<x 时,抛物线与x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.15.已知:如图①,在Rt △ACB 中,∠C =90°,AC =4cm ,BC =3cm ,点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,速度为1cm/s ;点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s ;连接PQ .若设运动的时间为t (s )(0<t <2),解答下列问题: (1)当t 为何值时,PQ ∥BC ?(2)设△AQP 的面积为y (2cm ),求y 与t 之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由;(4)如图②,连接PC ,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形PQP ′C ,那么是否存在某一时刻t ,使四边形PQP ′C 为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.16.已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点.第一象限上的点M (m ,n )(在A 点左侧)是双曲线ky x=上的动点.过点B 作BD ∥y 轴于点D.过N (0,-n )作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ,交BD 于点C.(1)若点D 坐标是(-8,0),求A 、B 两点坐标及k 的值.(2)若B 是CD 的中点,四边形OBCE 的面积为4,求直线CM 的解析式.(3)设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点,且MA =pMP ,MB =qMQ ,求p -q 的值.P '图①压轴题答案1. 解:( 1)由已知得:310c b c =⎧⎨--+=⎩解得 c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称,所以设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S ∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9(3)相似如图,=== =所以2220BD BE +=, 220DE =即: 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且AO BO BD BE ==所以AOB DBE ∆∆.2 解:(1)Rt A ∠=∠,6AB =,8AC =,10BC ∴=. 点D 为AB 中点,132BD AB ∴==. 90DHB A ∠=∠=,B B ∠=∠.BHD BAC ∴△∽△, DH BD AC BC ∴=,3128105BD DH AC BC ∴==⨯=.(2)QR AB ∥,90QRC A ∴∠=∠=.C C ∠=∠,RQC ABC ∴△∽△, RQ QC AB BC ∴=,10610y x-∴=, 即y 关于x 的函数关系式为:365y x =-+. (3)存在,分三种情况:①当PQ PR =时,过点P 作PM QR ⊥于M ,则QM RM =.1290∠+∠=,290C ∠+∠=,1C ∴∠=∠.84cos 1cos 105C ∴∠===,45QM QP ∴=, 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=,185x ∴=. ②当PQ RQ =时,312655x -+=, 6x ∴=.③当PR QR =时,则R 为PQ 中垂线上的点, 于是点R 为EC 的中点,11224CR CE AC ∴===.tan QR BAC CR CA ==,366528x -+∴=,152x ∴=.ABCD ERP H QM21 HQA BCD E R PHQ综上所述,当x 为185或6或152时,PQR △为等腰三角形. 3解:(1)∵MN ∥BC ,∴∠AMN =∠B ,∠ANM =∠C .∴ △AMN ∽ △ABC .∴ AM AN AB AC=,即43x AN=.∴ AN =43x . ……………2分∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=.(0<x <4) ……………3分 (2)如图2,设直线BC 与⊙O 相切于点D ,连结AO ,OD ,则AO =OD =21MN . 在Rt △ABC 中,BC. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC .∴ AM MN AB BC=,即45x MN=.∴ 54MN x =, ∴ 58OD x =. …………………5分过M 点作MQ ⊥BC 于Q ,则58MQ OD x ==. 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △BMQ ∽△BCA . ∴ BM QM BC AC=.∴ 55258324xBM x ⨯==,25424AB BM MA x x =+=+=. ∴ x =4996. ∴ 当x =4996时,⊙O 与直线B C 相切.…………………………………7分(3)随点M 的运动,当P 点落在直线BC 上时,连结AP ,则O 点为AP 的中点.∵ MN ∥BC ,∴ ∠AMN =∠B ,∠AOM =∠∴ △AMO ∽ △ABP . ∴ 12AM AO AB AP ==. AM =MB =2.故以下分两种情况讨论:① 当0<x ≤2时,2Δ83x S y PMN ==.∴ 当x =2时,2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分 ② 当2<x <4时,设PM ,PN 分别交BC 于E ,F .BD 图 2QBP 图 3∵ 四边形AMPN 是矩形, ∴ PN ∥AM ,PN =AM =x . 又∵ MN ∥BC ,∴ 四边形MBFN 是平行四边形. ∴ FN =BM =4-x .∴ ()424PF x x x =--=-. 又△PEF ∽ △ACB .∴ 2PEF ABCS PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∴ ()2322PEF S x ∆=-. ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-=()222339266828x x x x --=-+-.……………………10分当2<x <4时,29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.∴ 当83x =时,满足2<x <4,2y =最大. ……………………11分 综上所述,当83x =时,y 值最大,最大值是2. …………………………12分4 解:(1)作BE ⊥OA ,∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o=∴B(∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以42+=,解得k =, 以直线AB的解析式为4y x =+ (2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o , ∴ΔAPD 是等边三角形,=如图,作BE ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30° ∴GD=12BD=, ∴GB=2BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+=∴D(532,72) (3)设OP=x,则由(2)可得D(323,22x x ++)若ΔOPD 的面积为:133(2)224x x += 解得:2321x -±=所以P(2321-±,0)567解:(1)分别过D ,C 两点作DG ⊥AB 于点G ,CH ⊥AB 于点H . ……………1分 ∵ AB ∥CD ,∴ DG =CH ,DG ∥CH .∴ 四边形DGHC 为矩形,GH =CD =1.∵ DG =CH ,AD =BC ,∠AGD =∠BHC =90°,∴ △AGD ≌△BHC (HL ).∴ AG =BH =2172-=-GH AB =3. ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中,AG =3,AD =5, ∴ DG =4.∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形. ………………………………………………3分 (2)∵ MN ∥AB ,ME ⊥AB ,NF ⊥AB ,∴ ME =NF ,ME ∥NF .C D A B E FN M G H∴ 四边形MEFN 为矩形. ∵ AB ∥CD ,AD =BC , ∴ ∠A =∠B .∵ ME =NF ,∠MEA =∠NFB =90°, ∴ △MEA ≌△NFB (AAS ).∴ AE =BF . ……………………4分 设AE =x ,则EF =7-2x . ……………5分 ∵ ∠A =∠A ,∠MEA =∠DGA =90°, ∴ △MEA ∽△DGA .∴ DGME AG AE =. ∴ ME =x 34. …………………………………………………………6分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形. ……………………8分 当x =47时,ME =37<4,∴四边形MEFN 面积的最大值为649.……………9分 (3)能. ……………………………………………………………………10分由(2)可知,设AE =x ,则EF =7-2x ,ME =x 34.若四边形MEFN 为正方形,则ME =EF .即 =34x 7-2x .解,得 1021=x . ……………………………………………11分∴ EF =21147272105x -=-⨯=<4.∴ 四边形MEFN 能为正方形,其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形.8解:(1)由题意可知,()()()131-+=+m m m m .解,得 m =3. ………………………………3分∴ A (3,4),B (6,2);∴ k =4×3=12. ……………………………4分(2)存在两种情况,如图:①当M 点在x 轴的正半轴上,N 点在y 轴的正半轴 上时,设M 1点坐标为(x 1,0),N 1点坐标为(0,y 1).∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形,∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位, 再向下平移2个单位得到的(也可看作向下平移2由(1)知A 点坐标为(3,4),B 点坐标为(6,2),∴ N 1点坐标为(0,4-2),即N 1(0,2); ………………………………5分 M 1点坐标为(6-3,0),即M 1(3,0). ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ,把x =3,y =0代入,解得321-=k .∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y . ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上,N 点在y 轴的负半轴上时,设M 2点坐标为(x 2,0),N 2点坐标为(0,y 2).∵ AB ∥N 1M 1,AB ∥M 2N 2,AB =N 1M 1,AB =M 2N 2, ∴ N 1M 1∥M 2N 2,N 1M 1=M 2N 2.∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称.∴ M 2点坐标为(-3,0),N 2点坐标为(0,-2). ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ,把x =-3,y =0代入,解得322-=k ,∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y .所以,直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y . ………………11分(3)选做题:(9,2),(4,5). ………………………………………………2分 9解:(1)直线y =-x 轴交于点A ,与y 轴交于点C .(10)A ∴-,,(0C ,·························· 1分 点A C ,都在抛物线上,03a c c ⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩3a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x x =-- ················· 3分 ∴顶点1F ⎛- ⎝⎭, ···························· 4分 (2)存在 ································ 5分1(0P ································ 7分2(2P ································ 9分(3)存在 ································ 10分 理由: 解法一:延长BC 到点B ',使B C BC '=,连接B F '交直线AC 于点M ,则点M 就是所求的点. ·························· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H .B点在抛物线233y x x =-(30)B ∴, 在Rt BOC △中,tan OBC ∠=,x30OBC ∴∠=,BC =在Rt BB H '△中,12B H BB ''==6BH H '==,3OH ∴=,(3B '∴--, ··············· 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩62y x ∴=- ····························· 13分62y y x ⎧=⎪∴⎨=-⎪⎩解得377x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭ ∴在直线AC 上存在点M ,使得MBF △的周长最小,此时37M ⎛- ⎝⎭,. ·· 14分解法二:过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ,则点H 为点F 关于直线AC 的对称点.连接BH 交AC 于点M ,则点M 即为所求. ·········· 11分过点F 作FG y ⊥轴于点G ,则OB FG ∥,BC FH ∥.90BOC FGH ∴∠=∠=,BCO FHG ∠=∠HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ,.在Rt BOC △中,tan 3OBC ∠=,30OBC ∴∠=,可求得3GH GC ==, GF ∴为线段CH 的垂直平分线,可证得CFH △为等边三角形,AC ∴垂直平分FH .即点H 为点F 关于AC的对称点.03H ⎛∴- ⎝⎭,·············· 12分 设直线BH 的解析式为y kx b =+,由题意得x03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=····························· 13分y y ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩377M ⎛∴- ⎝⎭, ∴在直线AC 上存在点M ,使得MBF △的周长最小,此时37M ⎛- ⎝⎭,. 110解:(1)点E 在y 轴上 ························· 1分 理由如下:连接AO ,如图所示,在Rt ABO △中,1AB =,BO =2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=,30AOB ∴∠= 由题意可知:60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上,∴点E 在y 轴上. ····················· 3分 (2)过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =,30DOM ∠=∴在Rt DOM △中,12DM =,2OM =点D 在第一象限,∴点D的坐标为122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, ························· 5分 由(1)知2EO AO ==,点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02),∴点A的坐标为( ·························· 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ,2c ∴=由题意,将(A ,122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,代入22y ax bx =++中得 321312422a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 解得899a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线表达式为:28299y x x =--+ ················ 9分 (3)存在符合条件的点P ,点Q . ····················· 10分 理由如下:矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ,,,为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边, 又3OB =OB ∴边上的高为2 ···························· 11分依题意设点P 的坐标为(2)m ,点P 在抛物线28299y x x =--+上 28229m ∴--+=解得,10m =,2m = 1(02)P ∴,,228P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ,,,为顶点的四边形是平行四边形,PQ OB ∴∥,PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02),时,点Q的坐标分别为1(Q,2Q ; 当点2P的坐标为2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时,点Q的坐标分别为328Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,428Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ·············· 14分 (以上答案仅供参考,如有其它做法,可参照给分) 11解:(1)在2334y x =-+中,令0y = 23304x ∴-+=12x ∴=,22x =-(20)A ∴-,,(20)B , (1)又点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ······················· 2分(2)由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2220x y =⎧⎨=⎩ ················ 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭,,(20)B ,4AB ∴=,94CD =···························· 5分 1994242ABC S ∴=⨯⨯=△ ·························· 6分(3)过点N 作NP MB ⊥于点P EO MB ⊥ NP EO ∴∥ BNP BEO ∴△∽△ ···························· 7分 BN NP BE EO∴= ······························· 8分由直线3342y x =-+可得:302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴在BEO △中,2BO =,32EO =,则52BE = 25322t NP∴=,65NP t ∴= ·························· 9分 16(4)25S t t ∴=-2312(04)55S t t t =-+<< ························· 10分2312(2)55S t =--+ ···························· 11分此抛物线开口向下,∴当2t =时,125S =最大∴当点M 运动2秒时,MNB △的面积达到最大,最大为125.12解:(1)m=-5,n=-3 (2)y=43x+2 (3)是定值.因为点D 为∠ACB 的平分线,所以可设点D 到边AC,BC 的距离均为h , 设△ABC AB 边上的高为H, 则利用面积法可得:222CM h CN h MN H⋅⋅⋅+=(CM+CN )h=MN ﹒HCM CN MNH h +=又 H=CM CN MN⋅化简可得 (CM+CN)﹒1MN CM CN h=⋅故 111CM CN h+=13解:( 1)由已知得:310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++ (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称,所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形=111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9(3)相似如图,====所以2220BD BE +=, 220DE =即: 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且2AO BO BD BE ==所以AOBDBE ∆∆.14解(Ⅰ)当1==b a ,1-=c 时,抛物线为1232-+=x x y , 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ,312=x . ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-,和103⎛⎫ ⎪⎝⎭,. ············· 2分 (Ⅱ)当1==b a 时,抛物线为c x x y ++=232,且与x 轴有公共点.对于方程0232=++c x x ,判别式c 124-=∆≥0,有c ≤31. ········· 3分①当31=c 时,由方程031232=++x x ,解得3121-==x x . 此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭,. ········ 4分 ②当31<c 时, 11-=x 时,c c y +=+-=1231,12=x 时,c c y +=++=5232.由已知11<<-x 时,该抛物线与x 轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为31-=x ,应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤, 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤,解得51c -<-≤. 综上,31=c 或51c -<-≤. ······················ 6分 (Ⅲ)对于二次函数c bx ax y ++=232,由已知01=x 时,01>=c y ;12=x 时,0232>++=c b a y , 又0=++c b a ,∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23. 于是02>+b a .而c a b --=,∴02>--c a a ,即0>-c a .∴0>>c a . ····························· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式 0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ,∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点,顶点在x 轴下方. ········ 8分 又该抛物线的对称轴abx 3-=, 由0=++c b a ,0>c ,02>+b a , 得a b a -<<-2, ∴32331<-<a b . 又由已知01=x 时,01>y ;12=x 时,02>y ,观察图象,可知在10<<x 围,该抛物线与x 轴有两个公共点. ·············· 10分15 解:(1)由题意:BP =tcm ,AQ =2tcm ,则CQ =(4-2t)cm , ∵∠C =90°,AC =4cm ,BC =3cm ,∴AB =5cm ∴AP =(5-t )cm ,∵PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC ,∴AP ∶AB =AQ ∶AC ,即(5-t )∶5=2t ∶4,解得:t =107∴当t 为107秒时,PQ ∥BC ………………2分(2)过点Q 作QD ⊥AB 于点D ,则易证△AQD ∽△ABC ∴AQ ∶QD =AB ∶BC∴2t ∶DQ =5∶3,∴DQ =65t∴△APQ 的面积:12×AP ×QD =12(5-t )×65t ∴y 与t 之间的函数关系式为:y =2335t t -………………5分(3)由题意:当面积被平分时有:2335t t -=12×12×3×4,解得:t =52±当周长被平分时:(5-t )+2t =t +(4-2t )+3,解得:t =1∴不存在这样t 的值………………8分(4)过点P 作PE ⊥BC 于E易证:△PAE ∽△ABC ,当PE =12QC 时,△PQC 为等腰三角形,此时△QCP ′为菱形 ∵△PAE ∽△ABC ,∴PE ∶PB =AC ∶AB ,∴PE ∶t =4∶5,解得:PE =45t∵QC =4-2t ,∴2×45t =4-2t,解得:t =109∴当t =109时,四边形PQP ′C 为菱形此时,PE =89,BE =23,∴CE =73………………10分在Rt △CPE 中,根据勾股定理可知:PC………………12分16 解:(1)∵D (-8,0),∴B 点的横坐标为-8,代入14y x =中,得y =-2. ∴B 点坐标为(-8,-2).而A 、B 两点关于原点对称,∴A (8,2) 从而k =8×2=16(2)∵N (0,-n ),B 是CD 的中点,A ,B ,M ,E 四点均在双曲线上, ∴mn =k ,B (-2m ,-2n),C (-2m ,-n ),E (-m ,-n )DCNO S 矩形=2mn =2k ,DBO S △=12mn =12k ,OEN S △=12mn =12k. ∴OBCE S 矩形=DCNO S 矩形―DBO S △―OEN S △=k.∴k =4. 由直线14y x =及双曲线4y x=,得A (4,1),B (-4,-1) ∴C (-4,-2),M (2,2)设直线CM 的解析式是y ax b =+,由C 、M 两点在这条直线上,得4222a b a b -+=-⎧⎨+=⎩,解得a =b =23 ∴直线CM 的解析式是y =23x +23. (3)如图,分别作AA 1⊥x 轴,MM 1⊥x 轴,垂足分别为A 1,M设A 点的横坐标为a ,则B 点的横坐标为-a.于是111A M MA a mp MP M O m-===, 同理MB m aq MQ m+== ∴p -q =a m m --m am+=-2。