理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果
在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。
§5-3
拱的合理轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
qc
x
x
shx chx
ex chx shx
dx
而 q x qc y , 即
y

H
d y 1 qc y 2 dx H
特征方程为：
y
qc , H
2

H
0

x

N 2 Q2 sin 2 H cos 2 11 2 3 0.555
2 33 41,sin 2 0.555,cos 2 0.832

7.5 0.832 9.015 k N
绘制内力图
0
y
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 3.325 6.796 11.235 11.665 11.700 1.421 3.331 1.060 0.600 1.000 0.472 0.003 0.354
0.600
0.000
A
1
1.125 1.500 1.125
2
y2
q=2kN .m
6m x
0.000 0.375 4.500
3
2
4 5
6m
6
0.375
7 B 8
P=8kN
0.000
M图 kN.m
N图 kN
Q图 kN
§5-2
三铰拱的压力线
拱与受弯结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩
和剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的 结构体系。 因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材 料（如砖石、素砼）建造，以保证其良好的经济性。 下面我们研究拱截面的受力情况。
c
VA
f l1
x
VB
VA
二、内力计算 以截面D为例
P1
Qo
x-a1 M
截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
H
y
D H x
MD 0
M VA x P x a1 H y 1
Ｑo

VA
M M H y

H


H
y C1e
H
C2 e
x
H H q y a , 代入原方程，a c 设其特解 q y x A ch x B sh x c H H q x 0, y 0 A c 设 x 0, y 0 B 0 q y c ch x 1 悬链线 H
q qC y 。
q qc y
y f y
y*
因事先
M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
d2y 1 d2 M 2 dx H dx 2
对简支梁来说， d M q x 2
2
e
2
qc+.f
M M H y M H f y 0 M y f H
VA VA
M C 11 6 2 6 3 H 7.5kN f 4
（2）内力计算
y2
以截面2为例
4f 44 x l x 312 3 3m 2 2 l 12
dy dx
x 3
M 2 M 2 Hy2 11 3 2 3 15 7.5 3 .
q 8f 4f y x x l x 2 2 x l x 2 ql l
例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。
[证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。
q
D
E
dS R d
M0 0 N D R N E R dR 0 ND NE N
第五章
三 铰 拱
拱的实例 三铰拱的特点
P1
H
l
三铰拱的类型、基本参数
P2
f H
VA
VB
f 1 10 l
曲线形状：抛物线、园、悬链线……..
§5-1
三铰拱的支座反力和内力
一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
a1
d P1 a2
D
b1
c
f l2 l
b2
P2
HB
MA 0
VB
1 Pa1 P2a2 1 l
q y C q B l/2 B x A
A
l/2
f
M x [解] 由式 y x H

ql 2
x
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
M C ql 2 H f 8f
注意
*合理轴线对应的是
一组固定荷载； *合理轴线是一组。
所以拱的合理轴线方程为：
Q
o
P1
Mo
Q Q cos H sin N Q sin H cos


Ｈ
V
A
三、受力特点 （1）在竖向荷载作用下有水平反力 H; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N.
q=2kN .m y
2 1 0 A 3 4 5 6
15kN m .
tg 2 4 f 2x 1 l l
x 3

4 4 2 3 1 12 12
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
0.667
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
VB VB
VA VA
HA
y
MB 0
VA
x
VA
1 Pb1 P2b2 1 l
l1
x 0
VB
H A HB H
P1 d
P1
P2
c
H
MC 0
VA l1 P d H f 0 1
MC MC H f 0 H f
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如
图所示拱的轴线为抛物线方程
7 8
2 y2 x
f=4m
B
7.5kN
x2=3m VA 11kN 3m 6m 6m
H 7.5kN VB 9kN
4f y 2 x l x l 制内力图。
计算反力并绘
（1）计算支座反力
269 83 11kN 12 2 6 38 9 VB VB 9 kN 12
对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状 有关。令
M M Hy 0
M x yx H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。
例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
RA
大小和方向 o
RA
D
23
P1
M D R12 rD
N D R12 cos D
RB
索多边形 合力多边形 压力多边形 压力线
P2 QD R12 sin D
P3
如果是分布荷载，压力线
呈曲线，称为压力曲线；如果
RB
是集中荷载，压力线呈多边形，
称压力多边形。
压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力R若都沿拱轴切线方向作用是最
y x A ch

x B sh


x
Q
M
N
R
e
拱截面一般承受三种内力：M、Q、N。 若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为e = M/N， 显然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。
P1
作用线
P2
G
rD
P3
H
F
A
（1）确定各截面合力的 大小和方向： 数解 RA RB
绘力多边形
k1
D
k2 C
k3
B
射线
（2）确定各截面合 力的作用线
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
y0
q dS 2 N sin
d 0 2 N qR来自q Rd N d 0
R
N q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设 填土的容重为，拱所受的分布荷载为 [解]由拱截面弯矩计算式