一元一次方程知识点及基础训练知识详解:一、等式的概念和性质1、等式的概念:用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式。
2、等式的性质等式的性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
若a b =,则a m b m ±=±;等式的性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式,所得结果仍是等式.若a b =,则am bm =,a b m m=(0)m ≠ 注意:(1)在对等式变形过程中,等式两边必须同时进行.即:同时加或同时减,同时乘以或同时除以,不能漏掉某一边。
(2)等式变形过程中,两边同加或同减,同乘或同除以的数或整式必须相同。
(3)在等式变形中,以下两个性质也经常用到:①等式具有对称性,即:如果a b =,那么b a =;②等式具有传递性,即:如果a b =,b c =,那么a c =;判断题2)12S ah =是等式; (3)等式两边都除以同一个数,等式仍然成立;(4)若x y =,则44x m y m +-=+-;下列说法不正确的是()A .等式两边都加上一个数或一个等式,所得结果仍是等式;B .等式两边都乘以一个数,所得结果仍是等式;C .等式两边都除以一个数,所得结果仍是等式;D .一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加,所得结果仍是等式;回答下列问题,并说明理由.(1)由2323a b +=-能不能得到a b =?(2)由56ab b =能不能得到56a =?(3)由7xy =能不能得到7y x =?(4)由0x =能不能得到11x x x+=? 下列结论中正确的是()A .在等式3635a b -=+的两边都除以3,可得等式25a b -=+;B .如果2x =-,那么2x =-;C .在等式50.1x =的两边都除以0.1,可得等式0.5x =;D .在等式753x x =+的两边都减去3x -,可得等式6346x x -=+;根据等式的性质填空(1)4a b =-,则a b =+;(2)359x -=,则39x =+;(3)683x y =+,则x =;122x y =+,则x =. 用适当数或等式填空,使所得结果仍是等式,并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的(1)如果23x =+,那么x =;(2)如果6x y -=,那么6x =+;(3)如果324x y -=,那么2y -=-;(4)如果324x =,那么x =.二、方程的相关概念1、方程:含有未知数的等式叫作方程。
注意:定义中含有两层含义,即:方程必定是等式,即是用等号连接而成的式子;方程中必定有一个待确定的数即未知的字母,二者缺一不可。
2、方程的次和元:方程中未知数的最高次数称为方程的次,方程中不同未知数的个数称为元。
3、方程的已知数和未知数已知数:一般是具体的数值,如50x +=中(x 的系数是1,是已知数.但可以不说)。
5和0是已知数,如果方程中的已知数需要用字母表示的话,习惯上有a 、b 、c 、m 、n 等表示。
未知数:是指要求的数,未知数通常用x 、y 、z 等字母表示。
如:关于x 、y 的方程2ax by c -=中,a 、2b -、c 是已知数,x 、y 是未知数。
4、方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
5、解方程:求得方程的解的过程。
注意:解方程与方程的解是两个不同的概念,后者是求得的结果,前者是求出这个结果的过程。
6、方程解的检验:要验证某个数是不是一个方程的解,只需将这个数分别代入方程的左边和右边,如果左、右两边数值相等,那么这个数就是方程的解,否则就不是。
下列各式中,哪些是等式?哪些是代数式,哪些是方程?①34a +;②28x y +=;③532-=;④1x y ->;⑤61x x --; ⑥83x-=;⑦230y y +=;⑧2223a a -;⑨32a a <-.判断题.(1)所有的方程一定是等式。
()(2)所有的等式一定是方程。
()(3)241x x -+是方程。
()(4)51x -不是方程。
()(5)78x x =不是等式,因为7x 与8x 不是相等关系。
()(6)55=是等式,也是方程。
()(7)“某数的3倍与6的差”的含义是36x -,它是一个代数式,而不是方程。
()判断下列各式是不是方程,如果是,指出已知数和未知数;如果不是,说明理由。
(1)373x x -=-+;(2)223y -=;(3)2351x x -+;(4)112--=-;(5)42x x -=-;(6)152x y -=. 在1y =、2y =、3y =中,______是方程104y y =-的解.三、一元一次方程的定义1、一元一次方程的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的方程叫做一元一次方程。
这里的“元”是指未知数,“次”是指含未知数的项的最高次数。
2、一元一次方程的形式标准形式:0ax b +=(其中0a ≠,a ,b 是已知数)的形式叫一元一次方程的标准形式.最简形式:方程ax b =(0a ≠,a ,b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式.注意:(1)任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程,可以通过变形为最简形式或标准形式来验证,如方程22216x x x ++=-是一元一次方程。
如果不变形,直接判断就出会现错误。
(2)方程ax b =与方程(0)ax b a =≠是不同的,方程ax b =的解需要分类讨论完成。
下列各式中:①3x +;②2534+=+;③44x x +=+;④12x=;⑤213x x ++=;⑥44x x -=-;⑦23x =;⑧2(2)3x x x x +=++。
哪些是一元一次方程?下列方程是一元一次方程的是()(多选)A .1xy =B .225x+=C .0x =D .13ax +=E .235x +=F .2π 6.28R = 已知方程2(63)70n m x -+=是关于x 的一元一次方程,求m ,n 满足的条件。
若2(1)(2)(3)0k x k x k -+-+-=是关于x 的一元一次方程,求k 。
已知2(1)(1)30k x k x -+-+=是关于x 的一元一次方程,求k 的值。
若22(1)(1)20a x a x -+-+=是关于x 的一元一次方程,求a 。
若关于x 的方程2(2)450k x kx k ++-=是一元一次方程,则方程的解x =。
求关于x 的一元一次方程21(1)(1)80k k x k x --+--=的解.已知方程1(2)40a a x --+=是一元一次方程,则a =;x =.四、一元一次方程的解法1、解一元一次方程的一般步骤(1)去分母:在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.注意:不要漏乘不含分母的项,分子是个整体,含有多项式时应加上括号.(2)去括号:一般地,先去小括号,再去中括号,最后去大括号.注意:不要漏乘括号里的项,不要弄错符号.(3)移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边.注意:①移项要变号;②不要丢项.(4)合并同类项:把方程化成ax b =的形式.注意:字母和其指数不变.(5)系数化为1:在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠),得到方程的解b x a=. 注意:不要把分子、分母搞颠倒.2、解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有:整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等。
(1)基本类型的一元一次方程的解法解方程:6(1)5(2)2(23)x x x ---=+解方程:3(3)52(25)x x -=--解方程:2(43)56(32)2(1)x x x --=--+解方程:12225y y y -+-=- 解方程:122233x x x -+-=-解方程:232164x x ++=+ 解方程:213543x x +--=解方程:112132132x x -+-=(3)含有多层括号的一元一次方程的解法解方程:11133312242y ⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭解方程:1112{[(4)6]8}19753x ++++= 解方程:11111[(1)]3261224x ------=-解方程:11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(4)一元一次方程的技巧解法解方程:1123(23)(32)11191313x x x -+-+=解方程:113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+ 五.实际问题与一元一次方程(这部分,建议基础不好的学生仅适当尝试做做)(1)、售价指商品卖出去时的的实际售价。
(2)、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。
进价指商品的买入价,也称成本价。
(3)、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。
它与售价不同,它指的是原价。
(4)、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几,则称将标价打了几折。
(5)、盈亏问题:利润=售价-成本;售价=进价+利润;售价=进价+进价×利润率;(6)、产油量=油菜籽亩产量×含油率×种植面积。
(7)、应用:行程问题:路程=时间×速度; 工程问题:工作总量=工作效率×时间;储蓄利润问题:利息=本金×利率×时间;本息和=本金+利息。
一、列方程解应用题的一般步骤(解题思路)(1)审—审题:(2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数.(3)列—列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际,检验后写出答案.(注意带上单位)二、一般行程问题(相遇与追击问题)行程问题基本类型(1)相遇问题:快行距+慢行距=原距(2)追及问题:快行距-慢行距=原距1、从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用3.6小时,已知步行速度为每小时8千米,公交车的速度为每小时40千米,设甲、乙两地相距x 千米,则列方程为。
解:等量关系步行时间-乘公交车的时间=3.6小时列出方程是:6.3408=-x x 2、某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米,可比预定时间早到15分钟;若每小时行9千米,可比预定时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?解:等量关系 ⑴速度15千米行的总路程=速度9千米行的总路程⑵速度15千米行的时间+15分钟=速度9千米行的时间-15分钟提醒:速度已知时,设时间列路程等式的方程,设路程列时间等式的方程。