定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面
而且边（u，v）∈E（G），则将（u，v）加 于图G，得图G+ （u，v）
如此反复加边直到无边可加为止，这样所得到 的图叫做图G的闭包（closure），记作 。
^
G
^
G
G
^
G
G
命题3.3.1 图G的闭包是唯一的。
推论 当且仅当一个简单图的闭包是哈密顿图 时，这个简单图才是哈密顿图。
❖ 定义3.3.3 设v1， v2，…， vn为n阶图G的n个 顶点，记作
（1）e是G的一个割边 （2）e不在G的任何圈中。 （3）存在G的顶点u和v，使边e在每一条连接 u和v的道路上。
定理2.2.2 当且仅当在G中存在与顶点v不同的 两个顶点u和w，使所有的（u,w）道路都通 过v时，v才是割点。
定理2.2.3 一个连通图G至少有二个顶点不是割 点。
定理2.2.4 树G中所有度大于1的顶点都是割 点。
定义2.2.3 没有割点的非平凡的连通 图称为不可分图。
f a
c
g
b
d
e
定理2.2.5 不可分图的任一边至少在一个圈中。
f a
c
g
b
d
e
对割点有下面的等价命题：
（1）v是G的一个割点 （2）存在与v不同的两个顶点u和w，使v在每 一条(u,w)道路上 （3）存在顶点集V-{v} 的一个划分(U,W) ， 使得对任何两个顶点u∈U,w ∈W ，顶点在每 一条(u,w)道路上。
❖ di=deg(vi)，i=1，2，…，n ❖ 称（ d1 ，d2，…， dn ）为图G的度序列。
定理3.3.5设G是一个具有度序列（ d1 ， d2，…， dn ） 的简单图，这里 d1 ≤d2 ≤ … ≤ dn ，且n≥3,假如不存在小于n/2的 m值，便得dm <m，dn-m ≤n-m ，那么G是 哈密顿图。
通。
2
d
3
a
e
f
i
c 1
d 6
h
4
g
j
5
命题３.１.１闭链是环路
定理３.１.１环路中每个顶点的度均为偶 数
定理３.１.2 图G是连通环路当且仅当存在一条 包含G的所有边的闭链。
定理３.１.3每个顶点的度为偶数的图 G是环路。
推论３.１.1 设G是一个连通图，若恰有两个顶 点的度是奇数，则G有一条开链，它包含G的 所有的顶点和边（它从一个度为奇数的顶点 开始到另一个度为奇数的顶点为止）。
证明
设在图T中，当p=2时，连通无 圈，T中边数e=1，因此e=p-1成 立。
假设p=k-1时命题成立，当p=k时， 因为无圈且连通，故至少有一条 边其一个端点u的度数为1。设该 边为(u,w)，删去结点u，便得到 一个k-1个结点的连通无圈图T’，
由归纳假设，图T’的边数e’=p’1=(k-1)-1，于是再将结点u以及关 联边(u,w)加到图T’中得到原图T， 此时T的边数为 e=e’+1=(k-2)+1=k-1，结点数
A connected undirected graph is Eulerian if and only if every graph vertex has an even degree.
An undirected graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into edge-disjoint cycles.
p=p’+1=(k-1)+1=k,
故e=p-1成立。
❖ 假设G中有一个n圈，则这个圈上 有n个顶点和n条边。对于其余p-n 个不在这个圈上的顶点，每一个顶 点有一条关联于它的边且这条边在 联接它和圈上的一个顶点的最短道 路上，每一条边都不同，所以q>=p, 于假设矛盾。
推论2.1.2 设G是有p个顶点k个分支的森林， 那么G的边数为p-k。
❖ 定理3.3.2 设G是n（≥ 3）阶简单图，w是有 最小度的顶点，如果
❖
deg(w ) ≥n/2，
❖ 则G是哈密顿图。
定理3.3.3设u，v是n阶图G中两个不邻接的 顶点，如果 deg(u )+ deg(v)≥n，
则G是哈密顿图的充要条件是G+uv为哈密 顿图。
定义3.3.2设G是一n阶图，若对任一对顶点u， v满足deg(u )+ deg(v)≥n，
第二章 树(tree)
2.1 树的特性
定义2.1.1 不含圈的连通图称为树，每个 分支都是树的分离图称为森林，树中的 边称为树枝。
定理2.1.1 当且仅当简单图G中任意两个顶 点均由唯一道路连接时，G才是一棵树。
推论2.1.1 在树中不相邻的两个顶点间添上 一条边，则恰好得到一个圈。
定理2.1.2 p阶图G是一棵树，当且仅 当G是有p-1条边的连通图
❖ 定义3.3.1 通过图G的每个顶点的圈称为哈密 顿圈(Hamiltonian cycle)。具有哈密顿圈的图 称为哈密顿图(Hamiltonian graph)
定理3.3.1 若图G是哈密顿图，则对于V（G） 的每一个非空真子集S，导出子图G-S的分支 数目k(G-S)均满足k(G-S)≤|S|。
定理３.１.4两个环路的环和仍为环路。
3.2 欧拉图
定义3.2.1 顶点的度均为偶数的图称 为欧拉图(Euler graph)。
定义3.2.2 经过图G的每一条边的链 称为欧拉链(Euler chain) 。
❖ 结论：（1）闭链是欧拉图； ❖ （2）环路是欧拉图； ❖ （3）图G是连通欧拉图当且仅当存在一
v1
v4
v6 v7
v1
v6 v7
v2
v3 (4)
v8
v2
v3
v8
(3)
§2.2 割边与割点
❖ 定义2.2.1 如果图G中删去一条边后，图G的 分支数增加，则称此边位G的割边(cut-edge)。
❖ 定义2.2.2 如果图中去掉一个顶点（同时去掉 与该点关联的所有边）后图的分支数增加， 则称该点为G的割点(cut-vertex)。
2.3 生成树
定义2.3.1 如果T是G的一个生成子图而且又 是一棵树，则称T是图G的一棵生成树。对分 离图来说，则称为生成森林。
生成树T中的边称为树枝，属于G而不属于T 的边称为连枝。
定理2.3.1 图G有生成树的充要条件是G为连 通图。
推论2.3.1 若图G是连通的（p，q）图，则 q≥p-1。
§2.2 割边与割点
v1
v4
v5
v1
v6 v7
v4
v5
v6 v7
v2 v1
v3 (1)
v4
v8 v5 v6 v7
v2 v1
v3 v8
( 2 ) v5
v4 v6
v7
v2
v3 (4)
v8
v2
v3
v8
(3)
§2.2 割边与割点
v1
v4
v5
v6 v7
v1
v4
v5 v7
v2
v3 (1)
v8
v2
v3 v8
(2) v5
定理2.3.2 设T是连通图G的一棵生成树，并且 e`是一条连枝，则T+e`含有一条唯一的图。
避圈法：
f a
c
g
b
d
e
G
a
f
b
d
G的一棵生成树
破圈法：
f a
c
g
b
d
e
G
a
f
b
d
G的一棵生成树
第三章 欧拉图和哈密顿图
3.1 环路
定义：环路是圈与圈的边不重并。
注：圈是环路，圈是连通的，环路不一定连
If an undirected graph G is Eulerian then its line graph L(G) is Eulerian too.
A directed graph is Eulerian if it is connected and every vertex has equal in degree and out degree.