差分方程——离散时间函数或序列 差分方程 离散时间函数或序列——z变换求解 z 离散时间函数或序列 微分方程——连续时间函数 连续时间函数——拉氏变换求解 微分方程 连续时间函数 拉氏变换求解 简化求解过程，微差分运算 简化求解过程，微差分运算——代数运算 代数运算
数学基础简介（Z变换） （续三）
表5-2 Z变换的有关定理
数学基础简介（Z变换） （续四）
表5-3 常用函数的Z变换
数学基础简介（Z变换） （续五）
例5-1 计算函数sinωt和eat的Z变换
变 换 的 MATLAB MATLAB 计 算 实 例 Z % 计算函数 变换的 计算函数z变换的 变换的MATLAB程序 程序 syms w a n; y1=ztrans(sin(w*n)) y2= ztrans(exp(a*n)); y2=simple(y2) Symbolic Math Toolbox syms simple ztrans
∞
∫
−∞
f (t )δ (t − kT )dt = f (kT ), k = 0, 1, 2, L
单位脉冲序列： 单位脉冲序列：
δT (t ) =
*
k =−∞ ∞
∑ δ ( t − kT )
∞ k =−∞
∞
理想脉冲采样函数： 理想脉冲采样函数： f
( t ) = ∑ f ( t ) δ ( t − kT ) = ∑ f ( kT ) δ ( t − kT )
采样函数频谱与连续函数频谱之间的关系
1 ∞ F ( jω ) = ∑ F ( jω − jkω s ) T k = −∞
*
周期为ω 周期为 s
图5-4 F (jw)和F*(jw)的频谱 和 的频谱
理想低通滤波器
a:ωs>2ωmax b:ωs<2ωmax 图5-5 采样信号频谱的两种情况
3 采样定理及采样周期 的讨论 采样定理及采样周期T的讨论 的有限带宽信号， 若 f ( t )是一个带宽为 2ω max 的有限带宽信号，则由采样信号
ω s = 10ωc
其中， 为系统开环频率特性的截止频率 其中，ωc为系统开环频率特性的截止频率
在快速系统中，也可根据系统上升时间来确定采样周期， 在快速系统中，也可根据系统上升时间来确定采样周期，即 保证上升时间内2到 次采样 次采样。 为上升时间， 保证上升时间内 到4次采样。设Tr为上升时间，Nr为上升时 间内采样次数， 间内采样次数，则经验公式为
Nr = Tr = 2~4 T
对于一个闭环系统， 对于一个闭环系统 ， 如果被控过程的主导极点的时 应取: 间常数为T 那么采样周期T应取 间常数为 d，那么采样周期 应取
T < Td / 10
如果被控过程具有纯延迟环节τ， 如果被控过程具有纯延迟环节 ，且占有一定的重要 地位，采样周期应比小，通常取为: 地位，采样周期应比小，通常取为 T<(1/4∼1/10) τ
F ( s ) = L ( f (t )) = ∫ f (t )e dt = ∫
* 0
∗
∞
∗
− st
∞
0
1 T
k = −∞
∑
∞
f (t )e jkω s t e − st dt
1 ∞ = ∑ F ( s − jkω s ) T k = −∞
L[e f (t )] = F ( s − a )
at
（位移定理） 位移定理）
* k =0
∞
∞
− st
dt = ∑ f ( kT ) e − kTs
k =0
∞
令： z = eTs 则： F z = F * s = ( ) ( ) ∑ f ( kT ) z − k
k =0 ∞
z变换的性质： 变换的性质：
（1）线性性质： Z α f1 ( kT ) + β f 2 ( kT ) = α F1 ( z ) + β F2 ( z ) ）线性性质：
拉氏变换
Z变换 变换 差分方程 代数方程 Z传递函数 传递函数
微分方程
代数方程 传递函数
图5-11拉氏变换和Z变换关系
数学基础简介（Z变换） （续一）
在线性离散系统中，对采样信号做拉氏变换： 在线性离散系统中，对采样信号做拉氏变换：
L f
*
( t ) = F ( s ) = ∫−∞ ∑ f ( kT ) δ ( t − kT ) e
1 f (t ) = 2πj
用符号表示为
∫
σ + jω
σ − jω
F ( s ) e ds
st
数学基础简介（Z变换）
连续控制系统采用拉氏变换将微分方程转换成代数方程，并经 拉氏反变换得到时域解，同样，离散控制系统采用Z变换将差分 方程转换成以Z为变量的代数方程，求解后经Z反变换得到时域 解。
连 续 统 系 采样 Z=esT 散 离 系 统
kT<t<(k+1)T
u ′′(kT ) (t − kT ) 2 + L 2
a：零阶保持器单元方框图 b: 保持器输入 c: 保持器输出 ：
图5-7 零阶保持器输入输出特性
零阶保持器的数学模型: 零阶保持器的数学模型: 其中，单位阶跃信号: 其中，单位阶跃信号:
g0(t)
g 0 (t ) = 1(t ) − 1(t − T )
第五章 计算机控制系统理论基础
5.1 计算机控制系统信号流程 5.2 连续系统离散化
采样及采样定理 信号恢复和保持
5.3 计算机控制系统数学描述
z变换 脉冲（ 脉冲（z）传递函数
图5-2 采样过程
图5-3 理想采样开关采样后所得的采样脉冲序列
1 采样过程及采样函数的数学表示 函数来描述采样过程。 函数是一广义函数又称为脉冲函数， 采用 δ 函数来描述采样过程。 δ 函数是一广义函数又称为脉冲函数， 若 f (t )为连续函数，对 δ 函数有： 为连续函数， 函数有：
数学基础简介（Z变换） （续七）
z反变换： Z 反变换：
Z变换法： 变换法： 变换法
−1
[F (z )] = f (kT )
脉冲序列
级数求和法；部分分式法； 级数求和法；部分分式法；留数法 Z反变换法： 长除法；部分分式法；留数法 反变换法： 长除法；部分分式法； 反变换法
z变换解线性差分方程： 变换解线性差分方程：
f * ( t )能够无失真地恢复到原信号的条件为：ω s ≥ 2ω max 。 能够无失真地恢复到原信号的条件为：
采样周期T的选择非常重要，选择不合适会影响系统的动态品质，甚至会 导致系统不稳定。采样定理给出的只是理论指导原则 理论指导原则，但实际系统的最 理论指导原则 高角频率不好确定。对于惯性大、反应慢的生产过程，采样周期可选的 长一些。虽然T越小，复原原系统的精度越高，但计算机的负担加重，也 会使执行结构不能及时反应，反而使系统品质变坏。经验的结果如下表51所示。 表5-1 过程参数采样周期经验值 被控对象 采样周期/s 流量 1-5 压力 3-8 液位 5-10 温度 10-20 成分 15-20
数学基础简介（Z变换） （续六）
例5-2 计算函数10z/(z-1)(z-2)和(1-e-aT)z/(z-1)(z-e-aT)的Z反变换
反 变 换 的 MATLAB MATLAB 计 算 实 例 % 计算函数 反变换的 计算函数z反变换的 反变换的MATLAB程序 程序 syms z n ; y1=iztrans(10*z/(z-1)/(z-2)); n=0:5; yy1=subs(y1,n) syms n z a y2 ; y2=iztrans((1-exp(-a))*z/(z-1)/(z-exp(-a))); y2=simple(y2) yy2=subs(y2,{a,n},{ones(1,6),0:5}) Symbolic Math Toolbox syms subs iztrans simple Z
图5-6 理想滤波器特性 理想滤波器是不存在的， 理想滤波器是不存在的，必须找出与理想滤波器特性相近的物理上可实现 的实验滤波器，这种滤波器称为保持器 保持器。 的实验滤波器，这种滤波器称为保持器。
保持器/外推器 保持器 外推器
多项式外推法 泰勒级数） （泰勒级数）
u (t ) = u (kT ) + u ′(kT )(t − kT ) +
对于一些快速系统，如直流调速系统、随动系统，要求响应 对于一些快速系统，如直流调速系统、随动系统， 抗干扰能力强，采样周期可以根据动态品质指标来选择。 快、抗干扰能力强，采样周期可以根据动态品质指标来选择。 根据经验，用计算机来实现模拟校正环节功能时， 根据经验，用计算机来实现模拟校正环节功能时，选择采样 角频率为： 角频率为：
m =0
∑ f ( mT )
若，所有的初始条件为: 所有的初始条件为

f ( 0 ) = f (T ) = L f
( ( n − 1) T ) = 0
Z f ( kT + nT ) = z n F ( z ) 可得到: 则，可得到
（4）初值定理：lim f ( kT ) = lim F ( z ) ）初值定理： k →0 z →∞ lim f ( kT ) = lim (1 − z −1 ) F ( z ) （5）终值定理：k →∞ ）终值定理： z →1
δ T (t ) =
k = −∞
∑ δ (t − kT ) = ∑ C e
k = −∞ k
*
∞
∞
jkω s t
1 = T
k = −∞
∑e
∞
jkws t
2π ωs = T
Ck=？ ？
1 采样函数又可表示为： 采样函数又可表示为： f (t ) = ∑ f (kT )e jkωs t T k = −∞