有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结
构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准
确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
有限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分 析，可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元 模型，从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与 噪声控制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
•传递函数和频率响应函数
H(s)m2s(11jg)k
H()m21(1jg)k
（1＋jg）k — 复刚度
–用实部和虚部表示
H ()1 k (1 1 2 )22 g2j(1 2)g 2g2
与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
Hd (s)
e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
x(s) f (s)
Hv(s)
v(s) f (s)
Ha(s)
a(s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数

()
x() f ()
Hv()
v() f ()
• 三者之间的关系
Ha()
a() f ()
H a () jH v () ( j) 2 H d () 2 H d ()
• 动刚度（位移阻抗） Z(s)m2 sc sk • 动柔度（位移导纳） H(s)m2s1csk
H 1(1)2(m 1 (km 2 )k 2 (m 2 )2m c) m cm 1 m 2/m (1m 2)
• 曲线及特性
– 0时
H 1(1 ) 2(m 1 1m 2)21 m e0
m e0(m 1m 2) 零阶等效质量
» 系统产生刚体运动 » 零频为刚体模态 – 反共振点
A 2 k/m2
– 一个共振点
模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组中 的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以 模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换矩 阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构进行 可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响函数 矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得到结 构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
第一章模态分析理论基础
姜节胜 西北工业大学 振动工程研究所
0
模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗 与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、 信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理 论的有关营养，形成一套独特的理论。
模态分析的最终目标是识别出系统的模态 参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断 和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, 和疲劳寿命
分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以 通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建 立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计 服务。
c. 载荷(外激励)识别
由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响应 和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都求 得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。
•起始点(频率为零)非原点，约 在(1/k,-g/k)处，圆心坐标（0，1/2kg） •初相角为arctan(-g) •圆的直径为虚部最大值1/(kg) •半径为实部最大值1/(2kg) •直径处对应半功率带宽两个频 率点
共振频率点
ds max
d 1
• 粘滞阻尼系统
– Nyquist图
2
2
[H R()2] (H I()2 )4k1 4k1
– 简谐激励 • 激励力 • 响应
f(t)Fje(t) x(t)Xje(t)
•
位移频响函数
Hd
Xej() F
• 周期激励
非正弦周期力，如方波、锯齿波，周 期为T
f(t) f(
n)ejnt,
n2n/T
n1
响应的傅氏展开
_
x(t) x(
n)ejnt,
n2n/T
n1
频响函数（定义为各频率点上的值）均包含幅值与相位
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻尼系统的固有频率
阻尼比 范围（0－1）
内为欠阻尼
无阻尼固有频率
结构阻尼（滞后阻尼）系统
• 阻尼力：与位移成正比，相位比位移超前90度
fd jx • 结构阻尼系数
gk
g — 为结构阻尼比或结构损耗因子
• 运动方程及拉氏变换
..
mxk xjxf
[m 2 ( s 1 j) g k ]x (s)f(s)
0 H (7 ) max
半功率的概念是针对功率（而非幅值） 而言，在半功率点处，虚部正好为其最 大值的一半，但幅值却为最大幅值的有 效值。
Nyquist图－频响函数矢端轨迹图
•结构阻尼系统 Nyquist圆（导纳圆）
2
2
[H R()2] (H I()2)21 k g 21 k g
》特点
– 输入自功率谱密度
Gff Rff()ejd
0
– 输入输出互相关函数 R x(f) E x ( t)f( t )
– 互功率谱密度函数
Gxf Rxf()ejd
0
– 频响函数
H ()G x(f)/G ff()
• 多自由度系统的频响函数分析
– 两类系统
• 约束系统 • 自由系统
– 约束系统
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）
左至右 阻抗除 j ， 导纳乘j
•单自由度频响函数的特性曲线
Bode图(幅频图和相频图)
•幅频图:频响函数的幅值与频率的关
系
H ( )H R ( )2H I( )2 k
1
12 222
反共振是局部现象（仅仅 m1 振幅为零，因为此时频响函数的其他
项均不为零）。
机架线
• 一般多自由度约束系统
机架线
– N自由度约束系统有N个共振频率,（N－1）个反共振频率 – 对原点函数共振反共振交替出现 – 对跨点频响函数无此规律 – 一般两个距离远的跨点出现反共振的机会比较近的跨点少
– 自由系统
•相频图:相位与频率的 关系
HarcH H tR Ia(( n))arc(1 t 2 a n 2)
阻尼愈大，在固有频率 附近相位曲线的陡度
越小
0时曲线始点约为1/k，为弹簧的导纳线；
低频时外力主要由弹簧力来平衡；
0,1 时，产生共振，幅值为 1/2k
此时惯性力与弹簧力平衡，激励力与阻尼力平衡
0 时幅值下降，最后趋向于渐近线1/2m
试验模态分析的典型应用
a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振 现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。 结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。
相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机 和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设 法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
– 原点频响函数
» 第i点的响应与第i点的激励之间的频响函数 – 跨点频响函数
Hij(),ij
» 第i点的响应与第j点的激励之间的频响函数 Hij(),ij
• 原点频响函数特性
– 原点频响函数
H 1(1)(k 1 k2 k 1 2 m k 2 2 ) k ( 1 2 m 2 2 m 1 ) k 1 2
» 特点
»桃子形轨，迹阻圆尼越比大越小
» (是变的，所以不是圆 )
在固有频率附近，曲线 接近圆，仍可利用圆
的特性
速度与加速度频响函数特性曲线
• 关系回顾
H a () jH v () 2 H d ()
• 幅频图
实频图与虚频图
•Nyquist图
• 不同激励下频响函数的表达式
– 要点 • 频响函数反映系统输入输出之间的关系 • 表示系统的固有特性 • 线性范围内它与激励的型式与大小无关 • 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同
d. 振动与噪声控制
既然结构振动是各阶振型响应的迭加，只要设法控制相关频率附近 的优势模态（改设计和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以达到控 制结构振动的目的。
对汽车车厢内或室内辐射噪声的控制，道理也一样。车厢座舱或室 内辐射噪声与其结构的振动特性（模态）关系密切，由于辐射噪声是 由结构振动“辐射”出来的。控制了结构的振动，也就是实现了辐射 噪声的控制。
1
(1
)
2
1
g
2
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大，半功率带宽
越大，反之亦然
• 虚频图 • HI()k[1(2g )2g2]（结构阻尼） • HI()k[1 ( 2)2 2( 2（) 2]粘性阻尼）
• 以结构阻尼为例：
– 系统共振时虚部达到最大值
– 系统共振时实部为零
– 半功率点处的值