全等三角形证明
全等三角形共有5种判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。

特殊情况下平移、旋转、对折也会构成全等三角形。

全等三角形判定方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等.
举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.
证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.
∴△ACD≌△BDC.（SSS）
∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）
全等三角形判定方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.
举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.
证明：∵AB平分∠CAD.
∴∠CAB=∠BAD.
在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.
∴△ACB≌△ADB.（SAS）
∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）
全等三角形判定方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等.
举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.
证明：在△ABE与△ACD中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.
∴△ABE≌△ACD.（ASA）
全等三角形判定方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.
举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.
证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.
∴△ABC≌△EDC.（AAS）
∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）
全等三角形判定方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.
证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD.
∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）
∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）
附加:平移、旋转或对折的两个三角形全等.
习题
1已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且<B+<D=180度，求证：AE=AD+BE
2已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。

求证：AF=CE。

D
3已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝
知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。

①
5、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。

6
你添加的条件是：（2等三角形：______________不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，
若E 是AC 上一点。

求证：EB=ED 。

8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。

求证：∠ACE=∠
BDF 。

9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于
F ，若BD=AD ，DE=DC 。

求证：BF ⊥AC 。

10. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。

求证：△ABC ≌△A’B’C’。

11.已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥D 于F 。

求证：OE=OF 。

12.已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。

13.已知：如图，AB//DE ，AE//BD ，AF=DC ，EF=BC 。

求证：△AEF ≌△DBC 。

14.如图，B ，E 分别是CD 、AC 的中点，AB ⊥CD ，DE ⊥AC 求证：AC=CD
15.已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．
16.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
17如图，已知AD 是△ABC 的中线， DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ， 且BE=CF ， 求证：(1)AD 是∠BAC 的平分线；(2)AB=AC ． 18如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ．求证∠CDA ＝∠EDB ． 19在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE G ，求证：AE ＝BG ． 20如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝12021如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于F,且22如图，在△ABC 中，∠ABC=100º，AM=AN,CN=CP,23如图，在△ABC 中,AB=BC,M,N 为BC 数. 24如图，已知∠BAC=90º,AD ⊥BC, ∠1=∠2,EF ⊥BC, FM ⊥AC,说明FM=FD 的理由
26（1）如图，在正方形一边上取中点，并沿虚线剪开，用两块图形拼一拼，能否拼出平行四边形、梯形或三角形？画图解释你的判断.
（2）如图（2）E 为正方形ABCD 边BC 的中点，F 为DC 的中点，BF 与AE 有何关系？请
E C B E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3 A 1 2 E
F C D B C D A A C
D
E O A B C D E F
G
F E D C B A 解释你的结论。

27如图D C B A 、、、四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明． ①D ACE ∠=∠,②CD AB =,③ BF AE =，④ FBG EAG ∠=∠
29已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，
且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE
相交于点G 。

(1) BF =AC (2) CE =12BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

30如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，A ，C ，D 三点在同一直线上，连结BD ，AE ， 并延长AE 交BD 于F ．求证：（1）△ACE ≌△BCD （2）直线AE 与BD 互相垂直
31如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 是∠ABC 的平分线，AF ∥DC ，连接AC 、CF ，求证：CA 是∠DCF 的平分线。