2020届江苏省泰州中学高三毕业班上学期期中考试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,2,4,5,6A =，{}2,3,4B =，则A B =__________.【答案】{}2,4【解析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】{}1,2,4,5,6A =，{}2,3,4B =，∴{}2,4A B =.故答案为：{}2,4. 【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.2．命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定为__________. 【答案】1x ∃≥，使得21x <【解析】根据命题的否定直接求解即可. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定为“1x ∃≥，使得21x <”.故答案为：1x ∃≥，使得21x <. 【点睛】本题考查命题的否定，解题时应注意命题的否定与否命题的区别，属于基础题.3．函数y =_________． 【答案】(1,2]- 【解析】由201xx -≥+解得12x -<≤，即可得函数的定义域. 【详解】依题意，得：201xx -≥+，等价于：(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，即(2)(1)010x x x -+≤⎧⎨+≠⎩，得12x -<≤，所以定义域为：(1,2]- 故答案为(1,2]- 【点睛】本题考查函数的定义域，分式不等式的解法，属于基础题. 4．在等差数列{}n a 中，若2523a a +=，则数列{}n a 的前6项的和6S =__________. 【答案】2【解析】先根据等差数列的性质得出162523a a a a +=+=，再根据等差数列的求和公式进行计算即可. 【详解】根据等差数列的性质可得：162523a a a a +=+=， ∴1666()23223S a a ⋅==⋅=+.故答案为：2. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，解题时应注意对公式的选择，属于常考题.5．函数()2xf x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________ 【答案】31yx【解析】对函数求导得到导数f ′(x )＝e x ＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，故得到切线方程为31y x =+. 【详解】∵函数f (x )＝e x ＋2x ，∴导数f ′(x )＝e x ＋2，∴f (x )的图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1. 故答案为31y x =+. 【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.6．已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为_______． 【答案】12【解析】利用直线与直线垂直的性质直接求解． 【详解】∵x ，y ∈R ，直线（a ﹣1）x+y ﹣1=0与直线x+ay+2=0垂直， ∴（a ﹣1）×1+1×a=0， 解得a=12， ∴实数a 的值为12． 故答案为12． 【点睛】两直线位置关系的判断： 1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直： 12120A A B B +=；平行： 1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.7．设实数满足则的最大值为________【答案】3【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，则直线过点C 时取最大值3【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8．已知正数x 、y 满足22log log 0x y +=，则41x y+的最小值为__________. 【答案】4【解析】由22log log 0x y +=易得1xy =，再根据基本不等式求解即可.【详解】正数x 、y 满足22log log 0x y +=，∴021xy ==，∴41411244x y x y xy+≥⋅==，所以41x y +的最小值为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于常考题. 9．如下图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，3DAB π∠=，点E ，F 在BC ，DC 上，且12BE EC =，DF FC =，则AE AF ⋅=__________.【答案】18【解析】由向量的加法可得AE AB BE =+和AF AD DF =+，再根据题中条件得出AE AF ⋅的值即可.【详解】由向量的加法可得：AE AB BE =+和AF AD DF =+，4AB =，3AD =，3DAB π∠=，且12BE EC =，DF FC =， ∴4AB，3AD =，12DF FC DC ==，2DF FC ==， 13BE BC =，311BE BC ==，∴AE AF ⋅=（AB BE +）⋅ （AD DF +）AB AD AB DF BE AD BE DF =⋅+⋅+⋅+⋅coscos33AB AD AB DF BE AD BE DF ππ=⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅114342311222=⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅18=.故答案为：18. 【点睛】本题考查向量的加法，考查向量数量积的定义，考查平面向量在平面几何中的应用，考查计算能力，考查对基础知识的掌握与理解，属于中档题.10．设α，β都是锐角，且cos α=，3sin()5αβ+=，则cos β=__________.【解析】由α为锐角，根据cos α的值，求出sin α的值，利用sin()αβ+，根据其值范围确定出αβ+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos()αβ+的值，所求式子中的角β变形为()αβα+-，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】α为锐角，cos5α=，∴2sin α==>()35sin αβ+=<，()sin sin ααβ∴>+ 又α为锐角，ααβ<+∴2παβπ<+<，∴4()5cos αβ+==-， 则[]()cos cos βαβα=+-()()cos cos sin sin αβααβα=+++4355=-+=【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，考查了正、余弦函数的性质，考查了两角和差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于常考题.11．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =，()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．【答案】(),2-∞【解析】令()()()1g x f x x =-+，因为()23f =，且()'1f x <，所以()20g =，()'0g x <，即()()()1g x f x x =-+在R 上单调递减，且()1f x x >+可化为()()0g x g >，则2x <，即不等式()1f x x >+的解集为(),2-∞.点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件（()'1f x <且()23f =）构造函数()()()1g x f x x =-+和()()0g x g >，再利用单调性进行求解.12．在公比不等于1的等比数列{}n a 中，已知3542,a a a =且3453,,22a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前10项的和的值为_______________. 【答案】1023128【解析】先根据已知的条件求出等比数列的1,a q 的值，再求数列{}n a 的前10项和的值. 【详解】由题得24311132411112132,4,.21a q a q a q a q a q a q a q q ⎧⋅=⎪=+∴==⎨⎪≠⎩所以数列的前10项和为1014[1()]10232112812-=-. 故答案为1023128【点睛】本题主要考查等比数列的通项和等差中项的运用，考查等比数列的前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.13．在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=，则实数m 的取值范围为______.【答案】(1,8)-【解析】建立平面直角坐标系，按照点P 在线段AB ，AD ，DC ，BC 上进行逐段分析PM PN ⋅的取值范围及对应的解，然后取各个范围的交集即可得答案． 【详解】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则(8,4)M ，(0,2)N ，（1）当点P 在AB 上时，设(,0)P x ，08x ≤≤， ∴(,2)PN x =-，(8,4)PM x =-， ∴288PM PN x x ⋅=-+， ∵08x ≤≤，∴88PM PN -≤⋅≤．∴当8m =-时有一解，当88m -<≤时有两解； （2）当点P 在AD 上时，设(0,)P y ，08y <≤， ∴(0,2)PN y =-，(8,4)PM y =-， ∴268PM PN y y ⋅=-+， ∵08y <≤，∴124PM PN -≤⋅≤，∴当1m =-或824m ≤≤时有一解，当18m -<<时有两解； （3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <≤，∴(,6)PN x =--，(8,4)PM x =--， ∴2824PM PN x x ⋅=-+， ∵08x <≤， ∴824PM PN ≤⋅≤．∴当8m =时有一解，当824m <≤时有两解； （4）当点P 在BC 上时，设(8,)P y ，08y <<， ∴(8,2)PN y =--，(0,4)PM y =-， ∴268PM PN y y ⋅=-+， ∵08y <<，∴124PM PN -≤⋅<，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<<时有两解，综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=成立，那么m 的取值范围是(1,8)-， 故答案为：(1,8)-． 【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利用数形结合的思想进行求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解，难度较大．14．已知函数()3cos f x x x =-，若不等式()12f x kx b kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为__________. 【答案】2【解析】根据23cos x x kx b ≤+-恒成立可知21b ≥，同理得出11b ≤-，故21b b -的最小值为2． 【详解】由2()f x kx b ≤+恒成立，可得23cos x x kx b ≤+-，即2cos 3)(k x x b --≤+恒成立， 而1cos 1x -≤-≤，且cos y x =-为周期函数，故30k -=，且21b ≥，同理可得11b ≤-，∴21b b -的最小值为1(1)2--=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数的性质，考查不等式恒成立，考查分析问题和解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力.二、解答题15．设p ：实数x 满足22430x ax a -+≤，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）13x ≤≤；（2）12a ≤≤.【解析】（1）分别求出p 和q ，然后求出并集即可；（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒/，可得出B A ，列出不等式组0233a a <≤⎧⎨≥⎩，求解即可.【详解】（1）由22430x ax a -+≤，得(3)()0x a x a --≤， 又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，13x ≤≤，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x ≤≤，q 为真时，302x x -<-等价于(2)(3)0x x --<，得23x <<，即q 为真时，实数x 的取值范围是23x <<， 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x ≤≤；（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒/， 设{|3}A x a x a =≤≤，{|23}B x x =<<，则BA ，则0233a a <≤⎧⎨≥⎩，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤.【点睛】本题考查复合命题真假性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos 5A =，1tan()3B A -=． （1）求tan B 的值；（2）若13,c =求ABC ∆的面积． 【答案】（1）3（2）78【解析】试题分析：（1）由两角和差公式得到()()()tan tan tan tan 1tan tan B A A B B A A B A A-+⎡⎤=-+=⎣⎦--⋅，由三角形中的数值关系得到sin 4tan cos 3A A A ==，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到sin C =，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为78S =. 解析：（1）在ABC 中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==， 所以sin 4tan cos 3A A A ==， 所以()()()tan tan tan tan 1tan tan B A A B B A A B A A-+⎡⎤=-+=⎣⎦--⋅.1433314133+==-⨯ （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， 由()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==， 所以ABC 的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=.17．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y（万只）与时间x（年）（其中*x N∈）的关系为2xy e=．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayMx x=-+（其中a为常数，且0a>）来进行生态环境分析．（1）当1a=时，求比值M取最小值时x的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M不超过4e时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底， 2.71828e=）【答案】(1)M在x2=时取最小值(2)13722e，⎛⎤⎥⎦⎝【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.试题解析：（1）当1a=时，22(1)1xeM xx x=>-+，∴()()()22212'1xx x eMx x--=-+列表得：2单调减极小值单调增∴M在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增∴M在2x=时取最小值；（2）∵()()()22212'(0)1xa x x eM ax x--=>-+根据（1）知：M在()1,2上单调减，在()2,+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护∴()()()43444122372413M e eaeM eaeM e⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722ea<≤答：实数a 的取值范围为137,22e ⎛⎤⎥⎝⎦．18．如图，圆C 与x 轴相切于点T(2，0)，与y 轴的正半轴相交于A ，B 两点（A 在B 的上方），且AB ＝3．（1）求圆C 的方程；（2）直线BT 上是否存在点P 满足PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果圆C 上存在E ，F 两点，使得射线AB 平分∠EAF ，求证：直线EF 的斜率为定值．【答案】（1）225252)()24x y -+-=（；（2）点P 坐标为1151236（，）或（，）.（3）见解析.【解析】（1）求出圆C 的半径为52，即得圆C 的方程；（2）先求出直线BT 的方程为x+2y-2=0.设P(2-2y,y),根据PA 2＋PB 2＋PT 2＝12 求出点P 的坐标；（3）由题得ECB BCF ∠=∠,即EF ⊥BC,再求EF 的斜率. 【详解】（1）由题得223252+=24（），所以圆C 的半径为52. 所以圆C 的方程为225252)()24x y -+-=（. (2)在225252)()24x y -+-=（中，令x=0,则y=1或y=4. 所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),因为PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，所以22222222)(4)22)(1)222)(0)12y y y y y y -+-+-+-+--+-=（（（,由题得21526130y y -+=因为2=26415136767800∆-⋅⋅=-<, 所以方程无解. 所以不存在这样的点P.(3)由题得,EAB BAF ECB BCF ∠=∠∴∠=∠,所以512,1,120EF BCEF BC EF k k k -⊥∴⋅=-∴⋅=--， 所以43EF k =-. 所以直线EF 的斜率为定值． 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19．已知函数()214ln 22f x x a x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； （2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<- 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得()12f '=，解得a 的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得12124,x x x x a +==，再化简()()12f x f x +，进而化简所证不等式为ln ln 20a a a a --+>，最后利用导函数求函数()ln ln 2g x x x x x =--+单调性，进而确定最小值，证得结论试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4af x x x=--'， 则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(2) ()244a x x af x x x x-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞;2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为2± 此时()f x的单调减区间为(0,2,()2+∞,单调减区间为(2．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+-()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+-要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>． 构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x+-='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断,由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =． 则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立．所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．20．设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（p ，r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列； （2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）若202012020a a =，求p r +的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n n =+；（3）1. 【解析】（1）利用递推关系即可得出； （2）利用递推关系和累乘法即可得出；（3）利用递推关系，对p 进行分类讨论即可得出. 【详解】（1）由1p =，0r =，得n n S na =， 所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥， 两式相减，得10(2)n n a a n --=≥， 所以{}n a 是等差数列；（2）令1n =，得1p r +=，所以23r =， 则1233n n S n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1111(2)33n n S n a n --⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，两式相减， 得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， 所以3241231nn a a a a a a a a -⋅⋅=34511231n n +⋅⋅-， 化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥， 又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+； （3）由（2）知1r p =-， 所以1()n n S pn p a =+-，得11(12)n n S pn p a --=+-(2)n ≥，两式相减，得1(1)(12)n n p n a pn p a --=+-(2)n ≥， 易知0p ≠，所以112(1)n n a a pn p p n -=+--(2)n ≥，①当12p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-， 所以201520141201520141a a a ===，满足202012020a a =； ②当12p >时，由1(1)(12)n n p n a pn p a --=+-(2)n ≥，又0n a >， 所以1(1)n n p n a pna --<(2)n ≥，即1(2)1n n a a n n n -<≥-， 所以2020120201a a<，不满足202012020a a =；③当2p 1<且0p ≠时，类似可以证明202012020a a =也不成立；综上所述，12p =，12r =，所以1p r +=.【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的证明，考查累乘法求数列通项公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.。