《高等数学》考研2021名校考研真题库同济大学第一部分考研真题精选
第1章函数与极限
一、选择题
1若，则f（x）第二类间断点的个数为（）。

[数二、数三2020研]
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C查看答案
【解析】由f（x）表达式知，间断点有x＝0，±1，2。

因为存在，故x＝0为可去间断点；
因，故x＝1为第2类间断点；
因，故x＝－1为第2类间断点；
因，故x＝2为第2类间断点；
综上，共有3个第二类间断点，故应选C项。

2当x→0时，若x－tanx与x k是同阶无穷小，则k＝（）。

[数一2019研] A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C查看答案
【解析】tanx在x＝0处的泰勒展开式为：tanx＝x＋（1/3）x3＋o（x3），因此当x→0时有x－tanx～－（1/3）x3，即x－tanx与－（1/3）x3是x→0时的等价无穷小，进一步可得x－tanx与x3是同阶无穷小，所以k＝3，故选C。

3已知方程x5－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围（）。

[数三2019研]
A．（－∞，－4）
B．（4，＋∞）
C．{－4，4}
D．（－4，4）
【答案】D查看答案
【解析】方程x5－5x＋k＝0有3个不同实根等价于曲线y＝x5－5x与直线y＝－k有3个不同的交点，因此研究曲线y＝x5－5x的曲线特点即可。

令f（x）＝x5－5x，则f（x）在R上连续，且f′（x）＝5x4－5，再令f′（x）＝0，得x＝±1，通过分析f′（x）在稳定点x＝±1左右两侧的符号，可知当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增。

又由于
f（－1）＝4，f（1）＝－4，结合上述函数f（x）的单调特性，可知当－4＜k＜4时，曲线y＝x5－5x与直线y＝－k有3个交点，故选D。

4设函数
若f（x）＋g（x）在R上连续，则（）。

[数二2018研]
A．a＝3，b＝1
B．a＝3，b＝2
C．a＝－3，b＝1
D．a＝－3，b＝2
【答案】D查看答案
【解析】
由于f（x）＋g（x）在R上连续，所以
因此1＋a＝－2⇒a＝－3。

因此1－b＝－1⇒b＝2。

5若函数在x＝0处连续，则（）。

[数一2017研]
A．ab＝1/2
B．ab＝－1/2
C．ab＝0
D．ab＝2
【答案】A查看答案
【解析】由连续的定义知
即
又当x→0时，
代入得1/（2a）＝b，即ab＝1/2。

6设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图1-1所示，则（）。

[数三2016研]
图1-1
A．函数f（x）有2个极值点，曲线y＝f（x）有2个拐点
B．函数f（x）有2个极值点，曲线y＝f（x）有3个拐点
C．函数f（x）有3个极值点，曲线y＝f（x）有1个拐点
D．函数f（x）有3个极值点，曲线y＝f（x）有2个拐点
【答案】B查看答案
【解析】如图1-2所示，f′（x）在a，c，d三点取值为0，有可能为f（x）的极值点，a点：当x＜a时，f′（x）＞0；当x＞a时，f′（x）＜0，所以a点为极大值点，c点：当x＜c时，f′（x）＜0；当x＞c时，f′（x）＞0，所以c点为极小值点，d点：当x＜d时，f′（x）＞0；当x＞d时，f′（x）＞0，所以d点不是极值点，所以，f（x）有2个极值点。

图1-2中，b，e，d有可能为f（x）的拐点，b点：当x＜b时，f′（x）递减，f″（x）＜0；当b＜x＜e时，f′（x）递增，f″（x）＞0，所以b点为拐点，e点：当b＜x＜e时，f′（x）递增，f″（x）＞0；当e＜x＜d时，f′（x）递减，f″（x）＜0，所以e点为拐点，d点：当e＜x＜d时，f′（x）递减，f″（x）＜0；当x＞d时，f′（x）递增，f″（x）＞0，所以d点为拐点，所以，f（x）有3个拐点。

图1-2
二、填空题
1______。

[数一2020研]
【答案】－1查看答案
【解析】
2______。

[数二2019研]
【答案】4e2
【解析】运用重要极限和洛必达法则，计算得
3______。

[数三2019研] 【答案】1/e查看答案
【解析】计算
因此
4，则k＝______。

[数一2018研]
【答案】－2查看答案
【解析】由于
故k＝－2。

三、解答题
1求曲线y＝x1＋x/（1＋x）x（x＞0）的斜渐近线方程。

[数二2020研]
解：因为
从而曲线的斜渐近线方程为y＝x/e＋1/（2e）。

2已知（1＋1/n）n－e与b/n a为n→∞时的等价无穷小，求a，b。

[数三2020研] 解：由题意有
令1/n＝t，则
从而a＋1＝2，－e/（2b）＝1，解之得。

3设
（Ⅰ）证明：数列{a n}单调递减，且a n＝（n－1）a n－2/（n＋2）（n＝2，3，…）；
（Ⅱ）求。

[数一2019研]
证明：（Ⅰ）对∀x∈[0，1]，都有
因此
即a n≥a n＋1，数列{a n}单调递减，计算a n可得
因此a n＝（n－1）a n－2/（n＋2）（n＝2，3，…）。

（Ⅱ）由（Ⅰ）中结果{a n}单调递减且a n＞0，因此有a n/a n－2≤a n/a n－1≤a n/a n＝1，故可得
根据夹逼准则，有
4已知实数a、b满足
求a，b。

[数三2018研]
解：计算如下
由题设知
故[（a＋bt）e t－1]|t＝0＝a－1＝0，可得a＝1。

将a＝1代入
利用洛必达法则得
故b＝1。

5设函数f（x）＝x＋aln（1＋x）＋bxsinx，g（x）＝kx3，若f（x）与g（x）在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。

[数一、数二、数三2015研]
解：先分别计算f′（x），g′（x）的极限，则
假设1＋a≠0，则
这与题目已知条件相矛盾，所以1＋a＝0，得a＝－1。

又
同理可知，1＋2b＝0，计算得b＝－1/2。

因为
且，所以k＝－1/3。

综上，a＝－1，b＝－1/2，k＝－1/3。