因此，对任意正整数 m ，有 m3 0 ，1，8 ( mod 9 ) 。 ∴ 对任意正整数 x ，y ，x3 y3 0 ，1，2 ，7 ，8 ( mod 9 ) 。即对任意正整数 x ，y ，x3 y3
被 9 除的余数只有 0 ，1， 2 ， 7 ， 8 这 5 种情形。 而 2019 3 ( mod 9 ) ，即 2019 被 9 除的余数为 3。
又 E 为 OA 中点，
∴ OE 1 OA OD 。 2
结合 ABC 40 ，知 EOD AOC COD 2 40 60 140 ，
（第 2 题答题图）
1
OED 1 (180 EOD) 1 (180 140) 20 。
（第 4 题答题图）
5．2018 年 12 月 18 日，党中央、国务院授予陈景润同志改革先锋称号，颁授改革先锋
奖章，并获评激励青年勇攀科学高峰的典范。
哥德巴赫 1742 年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于 2 的偶数都可写成两个质数
之和（简称“1 1 ”）。”，并请欧拉帮助证明。两位数学大师费尽了脑筋，也没能给出证 明。200 多年来，“哥德巴赫猜想”吸引了众多数学家的关注，都试图去证明它，但至今还
1．若一次函数
y

x

2
与反比例函数
y

4 x
的图像交于
A( x1
，y1)
，
B( x2
，y2 )
两点，则
x1x2 y1 y2 的值为（ ）
A． 8
B． 6
C． 6
D． 8
【答案】 D
yx2
【解答】由


y

4 x
，得 x2 2x 4 0 …………… ①。
依题意， x1 ， x2 是方程 ① 的两根，于是 x1 x2 2 ， x1x2 4 。

1 2
( AB

BC
CA) r

1 2
(13 10
7) r

20
3。
∴ r4 3。 3
10．已知 x 0 ，y 0 ，z 0 ，且 x y xy ，x y z xyz ，则 z 的最大值为
。
【答案】 4 3
【解答】由 x y xy ，得 y x 。结合 x 0 ， y 0 ，得 x 1 。 x 1
则线段 BC 的长度为
。
【答案】 113 【解答】如图，作 AD x 轴 于点 D ，设 B(x1 ，0) ， C(x2 ，0) （ x1 x2 ）。 ∵ A(1，4) ， AB AC ，
（第 6 题图）
∴ 由 射 影 定 理 得 ， DB DC DA2 16 ， 即 (1 x1)(x2 1) 16 。
2019 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2019 年 3 月 17 日 9∶00－11∶00 满分 150 分
一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里， 不填、多填或错填都得 0 分）
2
2
3．已知二次函数 f (x) 2x2 ax b ，若 f (a) f (b 1) ，其中 a b 1 ，则 f (1) f (2) 的 值为（ ）
A． 8
B．10
【答案】 A
C．12
D．14
【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知 a b 1 a 。于是， 3a 2b 2 。
未能彻底解决。
陈景润在福州英华中学读书期间，有幸聆听了来自清华大学的沈元老师对“哥德巴赫猜
想”的介绍。从此，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引着陈景润，开启了陈景润摘取数学皇
冠上的明珠的艰辛历程。经过 10 多年坚忍不拔的辛勤研究，1966 年 6 月陈景润在《科学通
报》上发表了《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1 2 ”） 的研究论文，成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，受到国际数学界的高度重视和称赞，并称
∴ AB BP tan 30 4 3 。
∴ AC 2 AB2 BC 2 (4 3)2 62 84 。
∴ AC 2 21 。
结合 AB BC ，CD DA ，知 A 、 B 、C 、 D 四点
共圆， AC 为四边形 ABCD 外接圆的直径。 ∴ 四边形 ABCD 外接圆面积为 ( 21)2 21 。
又 x y z xyz ，
所以， z

xy xy 1
x x
x
x x
1 1

x 1
x
2
x
2
x

1

1
1 1 x
1 x2

(1 x
1 1) 2 2
3 4
。
由 x 1 ，知 0 1 1 x
所以， 1 1 ，即 x 2 时， z 取最大值 4 。（此时 y 2 ）
(y x

x y
)

(
y x
)
2

y x

x y

(
x y
)
2


2

(
y x

x )2 y
3
y x
x y


2(2
2
3) 14
。
8 ． 若 多 项 式 x12 x6 ax b （ a ， b 为 常 数 ） 能 被 多 项 式 x2 1 整 除 ， 则 a b 的 值
【答案】（1）由

1

8 m 1 4

1，知1
1
8m1 2 。 4
…………… 5 分
∴ 3 8 m 1 7 ， 9 8m 1 49 ，1 m 6 。
∴ 所求正整数 m 的值为1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 。
………………………… 10 分
3
∴ 5 2a ( a 1) 1 16 ，解得 a 1 。
a
a
4
于是， x1 x2 5 ， x1x2 22 ， x1 x2 (x1 x2 )2 4x1x2 (5)2 4 (22) 113 。
∴ 线段 BC 的长为 113 。
∴
x1x2

y1 y2

x1x2

4 x1

4 x2

x1x2

16 x1x2

4
16 4
8。
2．如图，△ABC 为圆 O 的内接三角形，D 为 BC 中点，E
为 OA 中点， ABC 40 ， BCA 80 ，则 OED 的大小为
（）
A．15
B．18
C． 20 D． 22
【答案】 C
【解答】如图，连结 OC 。 由 ABC 40 ， BCA 80 ，得 BAC 60 。
（第 2 题图）
∵ D 为 BC 中点，
∴ OD BC ， DOC 1 BOC BAC 60 。 2
∴ OCD 30 ， OD 1 OC 。 2
2
4
所以， f (1) f (2) (2 a b) (8 2a b) 3a 2b 10 2 10 8 。
4．如图，在四边形 ABCD 中，AB BC ，BCD 120 ，CD DA ，且 BC 6 ，CD 3 ，
则四边形 ABCD 外接圆的面积为（ ）
∵ B 、 C 为函数 y ax2 (a 1)x 5 2a 的图像与 x 轴
的交点，
∴ x1 ， x2 是方程 ax2 (a 1)x 5 2a 0 的两根，
x1

x2


a 1， a
x1x2

5 2a a
。
（第 6 题答题图）
又 (1 x1)(x2 1) 16 ， (x1 1)(x2 1) 16 ， x1x2 (x1 x2 ) 1 16 ，
x2
3
5
三、解答题（共
1


8 4
m 1

1，求正整数 m
的值；
（2）求和式：

1


811 4



1
8 2 1 4


L



1
8 50 1 4

的值。
（其中，符号 x 表示不超过 x 的最大整数）
AC x ，则 AB x 6 。
∵ BC 10 ， △ABC 的面积为 20 3 ，
∴ 1 BC AH 1 10 AH 20 3 ， AH 4 3 。
2
2
∵ BH CH 10 ，
∴ (x 6)2 (4 3)2 x2 (4 3)2 10 。
2
这一结果为“陈氏定理”。陈景润勇攀科学高峰的精神和对“哥德巴赫猜想”研究的贡献，
激励了无数青年学子。
请你完成下列问题：
将 2019 分解为两个正立方数的和的分解方式有（ ）（即方程 2019 x3 y3 的正整数
解的组数）
A． 0 种
B．1种
C． 2 种 D． 3 种
【答案】 A
【解答】对任意正整数 m ，考察 m3 关于模 9 的余数。 由于对任意正整数 m ， m 0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ( mod 9 ) 。