正交投影
田军
(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）
摘要：为了应用定理证明的方法，首先对格拉姆—施密特方法在理论上给出证明。

其次
是利用低等数学“设而不求”的思想进行高等数学的求解。

由于高等数学引入了矩阵的概念，考虑用矩阵的方法进行求解。

关键词：正交化；单位正交基；投影；矩阵
Orthogonal projection
Tian Jun
(College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Hunan 416000)
Abstract : In order to apply the theorem proving approach, first Gram -
Schmidt method of proof is given in theory. Secondly, the use of low-math
"demand-based rather than" thinking to the solution of advanced mathematics. Since the introduction of a matrix of higher mathematics concepts, consider the matrix method to solve it.
Key words : orthogonal; unit orthogonal basis; projection; matrix
引言 :在解决正交投影这类问题，如果要用定理证明的方法求出线性空间的一个规范
正交基。

那么首先就应该对定理进行证明，在理论上作必要的准备！
例1.1,在标准欧几里得空间V=R 中有向量α=（1，-1，-1， 1） 2∂=（1，-1 ，
0，1）3∂=(1,-1,0,1)线性空间W=L(1∂,2,αα)求向量 =（2，4，1，2）在W 上的正交投影。

解这道题有很多方法，第一种方法就是按定理证明的方法。

该方法涉及到格拉姆——施密特正交化。

因而首先对格拉姆——施密特正交化在理论上给予证明。

先考虑在三维空间V 1中一组线性无关的向量，则令11αβ=再将2α在1β上的投影向量记为R 12取：
-=22αβR 12-=2αk 1β 则2β⊥1β（如下图所示） 有内积
得相关知识可得k 12=
)
((1,1)
1,2βββα由于3α与21,αα共面，因此3α与21,ββ也共
面。

因而3α在21ββ平面的投影向量维R 3,则：
R 21)()(333ββαα+==R 13+22311323ββk k R +=
其中()()()()2
23223211313,,,,,βββαβββα==k k 取
2231133333ββααβk k R --=-=
则3213,ββββ⊥⊥
再将321,,βββ分别单位化为,,,321r r r 即得到一组正交单位向量321,,r r r ,它与向量组321,,ααα是等价的。

即在三维空间中存在一组单位正交基与321,,ααα等价，那么对于
321,,ααα...n α，这组线性无关的向量组是否存在正交向量组
n βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,与它是否等价呢？
令11αβ=显然1β与1α等价，再令21222βαβk +=为保证21,ββ正交即（21,ββ）=0
则可得到：1
11212,)
,(βββα-=k 也就是说取)
,)
,(112222βββααβ-
=时。

显然有21,αα与21,ββ等价。

再令22311333ββαβk k ++= 由()()0,,1323==ββββ 可得
()
()
()
()221323111313,,,,,βββαβββα-
=-
=k k
故222231111333)
,()
,(),(),(ββββαββββααβ--
= 并且321,,βββ与321,,ααα也等价。

继续上述步骤，假定已找到两两正交的非零向量t βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,满足条件。

使得 s ααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,与s βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,等价。

（其中S=1,2,3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅t) t t t t t t k k ββαβ1,11,111+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=,为使1+t β与t βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,均正交。

对格拉姆——施密特正交化从理论上证明后，用理论进行求解就不难了！ 有观察可知)1,1,1,1(1--=α 0,1,1,1(3-=α )1,0,1,1(2-=α 是线形无关的故将其正交化可得： )1,1,1,1(211--=
n )1,3,1,1(632-=n )2,0,1,1(6
6
3--=n 向量β在W 上的正交投影是：)2,1,1,1()(-=βw p
第二种方法：我们要利用正交投影的定义将β进行分解，21βββ+=其中
11w ∈β22w ∈β， 令 3322111αααβx x x ++=① 则(12-=-=ββββ332211αααx x x ++）
=（2-321x x x --，4+321x x x ++，1+31x x -，221x x --） 由于w ⊥2β故i αβ⊥2（)3,2,1=i 由此可得方程组：
⎪⎩⎪
⎨⎧=---=---=---0
3202331
34321
321321x x x x x x x x x
解之可得：364321-==-=x x x 代入①式可得：3211364)(∂-+-==ααββw p 该方法的主要特点是间接的求1β，因为1β的向量坐标已知故利用1β的坐标可将
2β的坐标表示出来。

再利用)3,2,1(2=⊥i i αβ进行求解，这种设而不求得方法在初等数学中是非常常见的。

其最基本的思想方法在高等数学中仍然实用。

在第一册教材中，我们已学过矩阵的知识。

那么这道题能不能用矩阵的知识进行求解呢？显然能够应用！
设21βββ+=其中w w ⊥∈21,ββ 因此令，3322111αααβx x x ++= ①
以321,,ααα作为列向量得到矩阵),,(321ααα=A 以①中 线性表示的系数作为列矩阵X 这样有：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=011101111111A ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=2142B ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=321x x x X 则有：1β=AX AX -=-=ββββ12 由于内积（),2βαi 表示的矩阵形式就是：2βαT i .故
)3,2,1(2=⊥i i αβ表示的矩阵形式就是：
)(),,(03212321232221AX -=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T T T T T βαααβαααβαβαβα
则有AX A B A T T = 即
X ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321233134101
解之得：()T
--=3,6,4X 于是
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==21
113640111011111111AX β 事实上用矩阵求解只是单纯的引入了矩阵这个运算工具而已，其最根本的原理与方法二雷同，只是使计算更具可能性，目的性，比方法二的计算更加简明，在具体的计算操作性上较方法二要强。

对于正交投影这类问题计算一般都较复杂，因此在计算时，要根据基向量的个数选择恰当的方法，一般情况下选择定义法为宜。

参考文献：
［1］ 陈志杰.高等代数与解析几何［M ］北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版
社，2001.2 ISBN 978-7-04-009570-8
［2］ 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.—三版.—北京：高等教育出版社，
2003.9
［3］ 高等代数.［M ］武汉大学出版社；2009。