P0
0.1P 0.05P 0.02P
球根
应力 球根
0.01P
• 如果有几个集中荷载作用（应力叠加原理）
叠加原理 叠加原理建立在弹性 理论基础之上，当地基表 面同时作用有几个力时， 可分别计算每一个力在地 基中引起的附加应力，然 后对每一个力在地基中引 起的附加应力累加求出附 加应力的总和。
zK 1z P 1 2K 2P z2 2 K nP zn 2z 1 2i n 1K iP i
B
z
M1
L
x
的角点1为座标原点，则
可将荷载面内某点(x，y)
z(x/B)p0
p0
处所取微面积dxdy上的
分布荷载以集中力
x
(x/B)p0dxdy代替d。z23Bx2py0x23zz25/2Bdxd
dz23Bx2py0x23zz25/2dxdy
y
dP
p0
BL
z00dzz(p 0 ,m ,n ) B
xy y x3 2 P 0 x R 5y 1 z 3 2R x3 ((2 y R R zz )2 )
3P0
2
xyz R5
yz
zy
3 P0
2
yz 2 R5
P0
o αr
x R
y M’ θz
3P0 y
2xR 3
cos 2
xz
zx
3P0
2
xz 2 R5
y
M
3P0 x cos 2
y
dP
p0
B
z
L
x
M1
M2
z
(B-X)P0/B
p0
x B
P0
z1Kt1p0
z2Kt2p0
M1
M2
K t F(B ,L,z)
五. 矩形面积水平均布荷载作用下的附加应力
Kp B
z
hh
ph
L
z
z z
Lz K hF (B ,L ,z)F (B ,B )F (m ,n )
查表
六. 竖直线布荷载作用下的附加应力计算－
L
x
z Kt1p0
z
M1
K t1F (B ,L ,z)F (B L,B z)F (m ,n ) z
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数 查表
同理，可求得荷载最大值边的 角点2下任意深度 z处的竖向
附加应力z为： z=Kt2p0=(Kc-Kt1)p
1、Kt1和Kt2均为m＝l/B和 n＝z/B 的函数，必须注意B是沿三角形分 布荷载方向的边长。 2、KC的意义 3、梯形荷载下的附加应力的求解
Kp 角点下垂直附加
应力的计算公式
z
s0
叠加原理
角点法
地基中任意点的附加应力
BA CD
a.矩形面积内
z ( K s A K s B K s C K s D ) p 0
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
a.矩形面积内
z ( K s A K s B K s C K Bs D ) p A0
dP
p0
y
x
L
B
z
M
z
dP 0 p0dxd
z
3P0
2
z3 R5
dz 32 d0PR z3 532p 0R z3 5dxdy
dP 0 p0dxdy
dP
p
y
z
dz
A
3p0z3
2
lb 00
1
x2y2z2
5 xd 2
xd
B
y
L
z
2p0l2z2l
blz2b22z2 b2z2 l2b2z2
度处的地基附加应力z的分
布，并考虑两相邻基础的影
d=1.5m
γ=18kN/m3
N=1940KN
响(两相邻柱距为6m，荷载同
基础甲)。
• 解：
• (1) 计算基础甲的基底平均附加压力：
• 基础及其上回填土的总重：
•
•
G G A 2 d 5 0 4 1 .5 6k 0 N 0
• 基底压力值： •
b.矩形面积外
CD
z (KsbeghKsafgh h
i
g
KscegiKsdfg)i p0 a
d
f
bc e
• 地基中的附加应力计算 步骤：
• 1、核算上部荷载 • 2、确定基础的尺寸 • 3、基底压力 • 4、基底附加应力 • 5、地基中的附加应力
例题 荷载分布情况如图所示。求荷载面积上点A、E、O 以及F和G点等点下z=1m深度处的附加应力，并利 用计算结果说明附加应力的扩散规律。
pNG 194 60 10 2 kp 7a A 54
• 基底处的土自重压力值：
c0 d 1 1 8 .5 2k7pa
• 基底附加压力值 ：
p 0 p c 1 2 2 7 1 7k 0p 0a
(2) 计算基础甲中心点 O下由本基础荷载引起的z
计算点
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
基础甲中心点O下由本基础荷载引起的z
弗拉曼解
地基表面上作用无限长的条
P0
形荷载，荷载沿宽度可按任何形
式分布，且在每一个截面上的荷
载分布相同(沿长度方向则不变)，
y
此时地基中产生的应力状态属于
x
z xM
平面问题。因此，对于条形基础，
z
如当墙荷基载、面挡积土的墙长基宽础比、l路/b基＞、10坝时，计算的地基附加
基应等力，值常与可按按l平/b面＝问 题时考的虑解。相比误差甚少。
10.5
nZB1,查表K得 s 0.1999
E点:分成矩 EA形D和IEBC ，I
对于 EAD有ImL1,nZ1
B
B
5 z G K G K H G D H p 0 8 F . 1 CB
6 附加应力的扩散规律
4m
4m
4m
例题
甲
丙
乙
5m 5m 5m
以角点法计算图示矩形基础甲
N
的基底中心点垂线下不同深
解1、 ：zA KA B C D p0
＝ 0.19 91900 20
2 zEKEID A KEBC Ip0
≈ 35
3zOK KO OK JACE I K KO OIEDBJKp0
A点是矩 AB形 C的 D角点m ， L且2,
B
48.1
4 zF-KKFFHHDC JK -KKFFJKABGGp0
x
M’
R θz
y
M
z
z
3P0
2
z3 R5
zy
3P0
2
yz2 R5
zx
3P0
2
xz2 R5
R 2 r 2 z 2 x 2 y 2 z 2 z: zy : zx z:y:x
z3 2 P 0R z3 52 3 [1(r/1z)2]5/2z P 0 2
K 3 1 3 1 2[1 (r/z)2]5 /2 2[1 t2 g]5 /2 r/zt g
• 地基中附加应力： • 基底附加应力在地基中
引起的附加于原有应力 之上的应力。
地基中的附加应力是使 地基发生变形，引起建 筑物沉降的主要原因。
土中附加应力分布特点：
• 土中附加应力分布特点：
• 1、 在地面下同一深度的水平面上的附加应力不同， 沿力的作用线上的附加应力最大，向两边则逐渐减 小。 2、 距地面愈深，应力分布范围愈大，在同一铅直 线上的附加应力不 同， 愈深则愈小。 3、计算地基附加应力，一般假定地基土是各向同性 的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上 都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形 半空间，就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空 间的理论解答。
4×(0.250-0.250)×100＝0.0 4×(0.244-0.243)×100＝0.4 4×(0.220-0.215)×100＝2.0
4.4 6.8 8.8 9.6 9.6 9.6 8.4
四. 矩形面积三角形分布荷载下的附加应力 y
• 设竖向荷载沿矩形面一
dP
p0
边B方向上呈三角形分布 (沿另一边l的荷载分布不 变)，荷载的最大值为p0 （kPa），取荷载零值边
座标原点的选择对解题的结果的简单性很重要.
沿y轴某微分段dy上的分 布荷载以集中力为：
P0 dy
dPP0dy
x
则地基中任意点M处由dP引起的
y
x
附加应力dz为：
dz
32P0Rz53
4×0.250×100＝100 4×0.235×100＝94 4×0.187×100＝75
54 39 28 21 17 18 9
(3)计算基础甲中心点O下由两相邻两基础乙的荷载引起
的z
计算点
基础甲中心点O下由两相邻两基础乙的荷载引起的z
l／b
Z
I(oafg) (oaed) (m)
z／b
KcI
KcI
条形面积竖直三角形荷载
特殊面积、特殊荷载
矩形面积水平均布荷载
一、竖直集中力作用下的附加应力计算--------布辛内斯克课题
P0
o
αr
y
x
M’
x
z zx
y
r/zt g z
R θz M
xy
y yz
R 2 r 2 z 2 x 2 y 2 z 2
x y z xy yz zx （P0；x,y,z；R, α, θ)
arctan lM b
z l2zb2z2
m=L/B, n=z/B
z Ksp0
查表
K sF (B ,L ,z)F (B L,B z)F (m ,n )