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《二次函数与一元二次方程》重点题型探究

《二次函数与一元二次方程》重点题型探究
类型一、二次函数图象与坐标轴交点
例1.(1)判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点,若有求出公共点坐标,若没有,说明理由.
①y=-x2-x+1;②;③y=x2+3x+4.
思路点拨:二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实根. 解:
①有两个公共点
对于方程-x2-x+1=0
,∴方程有两个不等实根
两根为
∴两个公共点坐标为;
②只有一个公共点
对于方程
∴方程有两个相等实根,
∴公共点坐标为(-2,0);
③没有公共点,理由如下:
对于方程x2+3x+4=0
∵△=32-4×1×4=-7<0,方程没有实数根
∴二次函数y=x2+3x+4与x轴无公共点.
(2)已知函数的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()
A. B. C.且 D.且
思路点拨:只要当y=0时,⊿≥0即可,k-3=0时也可以,故选B.
答案:B
总结升华:
(1)当,则方程有两个不相等实根,这时二次函数的图象与x轴有两个交点;
(2)当,则方程有两个相等实根,这时二次函数的图象与x轴有且只有一个交点;
(3)当,则方程没有实根,这时二次函数的图象与x轴没有交点. 举一反三:
【变式1】已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数,且满足-1<m<2,试判断此抛物线的开口方向,与x轴有无交点,与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方.
解:∵-1<m<2.
∴m-2<0,抛物线开口向下,
又m+1>0,抛物线与y轴的交点在x轴上方.
Δ=4m2-4(m-2)(m+1)
=4m2-4(m2-m-2)
=4m+8
=4(m+1)+4>0.
∴抛物线与x轴有两个不同的交点.
总结升华:
此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点(用抛物线与y轴的交点C在x轴上方,开口向下,必与x轴有两个不同交点).
【变式2】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方,求m的取值范围.
思路点拨:抛物线总在x轴上方表明(1)开口向上;(2)与x轴没有公共点.
解:由题意
类型二、利用图象法求一元二次方程的解
例2.(1)阅读材料回答问题:
有如下一道题:画图求方程的解.两位同学的解法如下:
甲:将方程化为,画出的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解.
乙:分别画出函数和的图象,观察它们的交点,把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法?请与你的同学交流.
答案:
上面甲、乙两位同学的解法都是可行的,但乙的方法要来得简便,因为画抛物线远比画直线困难,所以只要事先画好一条抛物线的图象,再根据待解的方程,画出相应的直线,两线交点的横坐标即为方程的解.所以建议同学们以后尽量用乙的方法.
(2)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
①求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
②若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
解:①当x=0时,.
所以不论为何值,函数的图象经过轴上的一个定点(0,1)②第一种情况:当时,函数的图象与轴只有一个交点;
第二种情况:当时,若函数的图象与轴只有一个交点
则方程有两个相等的实数根,所以,.
综上,若函数的图象与轴只有一个交点,则的值为0或9.举一反三:
【变式1】利用函数的图象,求方程的解:
解:先把方程化成x2=-2x+3.
如图:在同一直角坐标系中分别画出函数和的图象,
得到它们的交点(-3,9)和(1,1),
则方程的解为x=-3或x=1.
总结升华:
一般地,求一元二次方程的近似解时,通常先把方程化成
的形式,然后在同一直角坐标系中分别画出y=x2和两个函数的图象,得出交点,交点的横坐标即为方程的解.
【变式2】利用函数的图象,求方程组的解:
思路点拨:可以通过直接画出函数和的图象,得到它们的交点,从而得到方程组的解.
解:在同一直角坐标系中画出函数和的图象,
如图,得到它们的交点坐标(-2,0),(3,15),
则方程组的解为.
总结升华:利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤来解,关键是根据图象来理解方程和函数的内在关系.
类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用
例3.已知抛物线的顶点P(3,-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点Q,使△QAB的面积等于12,若存在,求点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
思路点拨:已知抛物线的顶点坐标及与x轴公共点间的距离时,可利用抛物线的对称性求抛物线与x轴两个公共点坐标,并采用顶点式(待定系数),可以大大减少计算量.
解:
(1)∵由已知,可得抛物线的顶点为(3,-2)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3,由抛物线的对称性可知,当抛物线在x轴上截得的线段长为4时,则点A、点B到直线x=3的距离均为2
∴A(1,0),B(5,0)
∴a(1-3)2-2=0,解得
.
(2)假定存在点Q(m,n),使S△QAB=12,

∴当n=6时,,解得m1=-1,m2=7
当n=-6时,,无实根
∴Q(-1,6)或(7,6)为所求.
例4.已知二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)(其中m为非负整数),其图象交x 轴于点A、点B,且点A在原点左侧,点B在原点右侧.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A,与这个二次函数的图象交于点C且
S△ABC=10,求一次函数的解析式.
解:
(1)抛物线开口向下,与x轴有两个公共点且分别在原点两侧,表示x=0时y>0
∴m=0
∴y=-x2+2x+3为所求.
(2)令y=0,-x2+2x+3=0解得x1=-1,x2=3
∴A(-1,0),B(3,0),∴AB=4
设C(p,q)∴q=-p2+2p+3
∵S△ABC=10,
当q=5时,-p2+2p+3=5,无实根,
当q=-5时,-p2+2p+3=-5,∴p1=-2,p2=4
∴C1(-2,-5),C2(4,-5)
若y=kx+b过A(-1,0),C(-2,-5)
若y=kx+b过A(-1,0),C(4,-5)
∴y=5x+5或y=-x-1为所求.
【变式1】已知:关于x的方程(1)当a取何值时,二次函数的对称轴是x=-2;(2)求证:a取任何实数时,方程总有实数根.
解:
(1)∵二次函数的对称轴是x=-2

解得a=-1
经检验a=-1是原分式方程的解.
所以a=-1时,二次函数的对称轴是x=-2;
(2)①当a=0时,原方程变为-x-1=0,方程的解为x= -1;
②当a≠0时,原方程为一元二次方程,,
当方程总有实数根,

整理得,
∵a≠0时所以a取任何实数时,方程总有实数根.。

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