概率与数理统计 习题五 答案1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}.【解】设(1,2,3,4)i X i =表示第i 次掷的点数，则41i i X X ==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而 22291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又1234,,,X X X X 独立同分布.从而 44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑ 所以 235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】设至少要生产n 件产品才能满足要求，令1,,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个产品合格第个产品不合格. 1,2,,i n =L ，则 12,,,n X X X L 相互独立且服从相同的（0—1）分布，{}10.8i p P X ===现要求n ,使得10.760.840.9.n i i X P n =⎧⎫⎪⎪⎪⎪≤≤≥⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑根据独立同分布的中心极限定理得0.8n i X n P ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎭∑0.9,=Φ-Φ≥ 整理得0.95,10⎛Φ≥ ⎝⎭查表1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】设需要供应车间至少15m ⨯个单位的电能，这么多电能最多能同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。

把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中，用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B ,()2000.7140,()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==⨯==-=⨯⨯=根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得0.95{}P X m P =≤=≤=Φ 查表知1.64,= ,m =151. 所以供应电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压k V （1,2,,20k =L ），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记201k k V V ==∑，求P {V ＞105}的近似值.【解】易知: ()5,()100/12(1,2,,20)k k E V D V k ===L 。

由独立同分布的中心极限定理知，随机变量201205~(0,1).10010020201212k k V Z N =-⨯==⨯⨯∑近似的 于是 105205{105}1010020201212P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎨⎬⎪⎪⨯⨯⎪⎪⎩⎭1000.3871(0.387)0.348,102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭即有 P {V >105}≈0.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）.由棣莫弗— 拉普拉斯定理得{30}1{30}1(1)(1)11(2.5)0.00621000.20.8P X P X P np p np p ⎧⎫≥=-<=-<--≈-Φ=-Φ=⨯⨯6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问 接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问 接受这一断言的概率是多少？【解】设1,,1,2,,1000,.i i X i ⎧==⎨⎩L 第人治愈其他 ，则12100,,,X X X L 相互独立且服从相同的(01)-分布，因此 1001~(100,)i i X X B p ==∑(1)当0.8p =时， ~(100,0.8)X B ，由 棣莫弗—拉普拉斯定理得1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) 当0.7p =时， ~(100,0.7)X B ，由棣莫弗—拉普拉斯定理得1001{75}1{75}1111(1.09)0.1379.i i P X P X P =>=-≤=-≤≈-Φ=-Φ=-Φ=∑7. 用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】设1000件中废品数为X ，则0.8p =，1000n =， ~(1000,0.05)X B ，E(X)=50，D(X)=47.5. 由拉普拉斯局部极限定理得130{20}6.895 6.895P Xϕ⎛⎫=≈=-⎪⎝⎭61304.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯⎪⎝⎭221(())xxϕ-=注：8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命1230,,,T T TL服从参数0.1λ=（单位：1h-）的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】根据题意可知11()10,0.1iE Tλ===21()100,iD Tλ==且301iiT T==∑，故()1030300,E T=⨯=()3000.D T=根据独立同分布的中心极限定理得{350}1{350}111(0.913)0.1814.P T P T>=-≤≈-Φ=-Φ=-Φ=9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设一年中至少需要n件电子器件，则E(T i)=10，D(T i)=100，1()10niiE T n==∑，1()100niiD T n==∑根据独立同分布的中心极限定理得11030680.95n i n i i T n P T P =⎧⎫-⎪⎪⎧⎫≥⨯=≥=⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭∑∑ 即0.05Φ≈ 故0.95, 1.64272.n =Φ=≈所以年计划中一年至少需要272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若 学校共有400名学生，设 各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率？（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1） 以(1,2,,400)i X i =L 记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为易知E （X i =1.1）, D (X i )=0.19, i =1,2, (400)而400i i X X =∑,由独立同分布的中心极限定理得400400 1.1~(0,1).4000.19419i i X N -⨯=⨯⨯∑近似地 于是{450}1{450}1419P X P X >=-≤≈-Φ ⎪⨯⎝⎭1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得{340}4000.80.24000.80.2(2.5)0.9938.4000.80.2P Y P ≤=≤⨯⨯⨯⨯≈Φ=Φ=⨯⨯ 11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，0.515）. 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 P {X ≤5000}.由 棣莫弗—拉普拉斯定理得{5000}100000.5150.485100000.5150.485(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X P ≤=≤⎨⨯⨯⨯⨯⎩≈Φ=Φ-=-Φ=⨯⨯ 12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够按时进入掩蔽体？（2）至多有多少个人能够按时进入掩蔽体？【解】引入新变量 1,1,2,,10000,.i i X i ⎧==⎨⎩L 第人其按时进入掩他蔽体, ，则121000,,,X X X L 相互独立，且服从相同的(01)-分布。

记 121000X X X X =+++L ，则~(1000,0.9)X B(1) 设 至少有m 人能够按时进入掩蔽体，要求 P {m ≤X }≥0.95，由棣莫弗—拉普拉斯定理知： {}1{}10.95.10000.90.1P m X P X m ≤=-<≈-Φ≥ ⎪⨯⨯⎝⎭从而 0.05,90Φ≤⎪⎝⎭ 故 1.65,90=- 所以 m =900-15.65=884.35≈884人(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P {X ≤M }≥0.95.{}0.95.909090P X M P ≤=≤≈Φ=⎨⎩ 查表知 90=1.65, M =900+15.65=915.65≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X ~B （10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X =10000×12”即“X =120”.由拉普拉斯局部极限定理可知，所求概率为{120}P X =≈21230.18110.0517e 0--===⨯≈(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X ≤60”， 由棣莫弗—拉普拉斯定理可知，所求概率为{060}P X ≤≤≈Φ-Φ(0)0.5.⎛=Φ-Φ≈ ⎝ 14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计. （2001研考）【解】令Z =X -Y ，有()0,()()()()2 3.E Z D Z D X Y D X D Y ρ==-=+-=所以2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P ZE Z P X Y --≥=-≥≤== 15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1）每一次抽查看作一次试验，100次随机抽查看作100重伯努利试验。